2006-浙江文-05 单-向量垂直与模平方

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及向量的模。

📌【题干】

Question

（2006年浙江卷(文)） 设向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$ 满足 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$，$\vec{a}\perp \vec{b}$，$|\vec{a}|=1$，$|\vec{b}|=2$，则 $|\vec{c}{|}^2=($\quad\quad$)$

A. $1$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $5$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ 得 $\vec{c}=-(\vec{a}+\vec{b})$。
2. $|\vec{c}{|}^2=|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2$。
3. $\vec{a}\perp \vec{b}$ 故 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$。
4. $|\vec{c}{|}^2=1+4=5$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

由 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$，得 $\vec{c}=-(\vec{a}+\vec{b})$。 因为 $\vec{a}\perp \vec{b}$，所以 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$， $|\vec{c}{|}^2=|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}=1^2+2^2+0=5$，故选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量垂直与模平方

核心方法：模平方展开用垂直

避坑指南：$\vec{c}=-(\vec{a}+\vec{b})$，$|\vec{c}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}=1+4+0=5$；垂直时数量积为 $0$ 别硬算

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自平面向量线性运算与模的综合，“和向量模”模型

结论推广: $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$ 时 $|\vec{c}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}$，推广到向量三角形模关系

方法推广: 见垂直即写数量积为零，模平方展开最稳妥

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2008-新课标Ⅰ文-05 单-向量垂直求参
• 2009-新课标Ⅰ文-07 单-向量垂直定参