2006-浙江文-04 单-对数单调性比大小

本题导读

本题考查对数函数的性质，以及对数函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2006年浙江卷(文)） 已知 ${\log }_{\frac{1}{2}}m<{\log }_{\frac{1}{2}}n<0$，则 ()

A. $n<m<1$　　　　　B. $m<n<1$　　　　　C. $1<m<n$　　　　　D. $1<n<m$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 底 $0<\frac{1}{2}<1$，$y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减。
2. 由 ${\log }_{\frac{1}{2}}m<{\log }_{\frac{1}{2}}n$ 得 $m>n$。
3. 由 ${\log }_{\frac{1}{2}}n<0={\log }_{\frac{1}{2}}1$ 得 $n>1$。
4. 综合得 $1<n<m$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

因为 $0<\frac{1}{2}<1$，函数 $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减。 由 ${\log }_{\frac{1}{2}}m<{\log }_{\frac{1}{2}}n$，得 $m>n$。 又由 ${\log }_{\frac{1}{2}}n<0={\log }_{\frac{1}{2}}1$，得 $n>1$。 因而 $1<n<m$，故选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数单调性比大小

核心方法：单调性同向传递

避坑指南：$y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ 递减：${\log }_{\frac{1}{2}}m<{\log }_{\frac{1}{2}}n\Rightarrow m>n$；${\log }_{\frac{1}{2}}n<0\Rightarrow n>1$，得 $1<n<m$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自对数函数单调性的比较大小，经典基础题

结论推广: 底小于 $1$ 递减时”同真数大则值小”，推广到指对混合比大小

方法推广: 底与 $1$ 比较定单调方向，真数与 $1$ 比较定符号

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2008-北京文-02 单-对数比较大小
• 2009-大纲Ⅱ文-07 单-对数比较大小