2006-浙江文-02 单-二项式指定项系数

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项式系数。

📌【题干】

Question

（2006年浙江卷(文)） 在二项式 $(x+1{)}^6$ 的展开式中，含 $x^3$ 的项的系数是 ()

A. $15$　　　　　　　B. $20$　　　　　　　C. $30$　　　　　　　D. $40$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $(x+1{)}^6$ 是 $6$ 个 $(x+1)$ 相乘。
2. 含 $x^3$ 的项需从 $6$ 个因式中取 $3$ 个 $x$、$3$ 个 $1$。
3. 系数为 ${\mathrm{C}}_6^3=20$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

在 $(x+1{)}^6$ 的展开式中，含 $x^3$ 的项是从六个因式中取三个 $x$ 和三个 $1$ 所得到的项， 其系数为 ${\mathrm{C}}_6^3=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=20$，故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式指定项系数

核心方法：组合数定通项系数

避坑指南：$(x+1{)}^6$ 中 $x^3$ 项即从 $6$ 个因式取 $3$ 个 $x$，系数 ${\mathrm{C}}_6^3=20$；展开式系数与二项式系数此处恰相同

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自二项式定理系数意义，考查组合数与指定项

结论推广: $(x+1{)}^n$ 的 $x^k$ 系数即 ${\mathrm{C}}_n^k$，推广到一般二项式指定项

方法推广: 先想”从几个因式里取几个”再写组合数，避免通项硬算

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-03 单-二项式系数
• 2009-湖北卷文-11 填-二项式系数