2006-江西卷理-18 解-离散型随机变量的数学期望

本题导读

本题考查概率论中离散型随机变量分布列的求解与数学期望的计算。核心在于通过有放回摸球的独立重复试验模型，准确列举奖金总额的可能取值，并计算各自对应的概率。

📌【题干】

Question

（2006年江西卷(理)） 某商场举行抽奖促销互动，抽奖规则是：从装有 9 个白球、1 个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金 10 元；摸出两个红球可获得奖金 50 元. 现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次. 令 $\xi$ 表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额. 求：

(1) $\xi$ 的分布列；

(2) $\xi$ 的数学期望.

🔍【思路分析】

破题导航

基本概率确定：有放回摸球，每次摸到红球的概率 $P=\frac{1}{10}=0.1$，摸到白球的概率 $q=1-0.1=0.9$。 分析随机变量 $\xi$ 的所有可能取值：

• 甲摸 1 次，可能摸到 0 或 1 个红球，对应奖金为 0 元、10 元。
• 乙摸 2 次，可能摸到 0、1 或 2 个红球，对应奖金为 0 元、10 元、50 元。
• 两人奖金求和，得到 $\xi$ 的所有可能组合值：0, 10, 20, 50, 60 元。 分步计算概率：将每种总奖金值拆解为甲、乙各自摸到红球个数的互斥组合，利用独立性求概率乘积之和。 求期望：利用期望公式 $E(\xi )=\sum x_i{P}_i$ 计算。

✅【答案】

Success

$（1）P(\xi =0)=\frac{729}{1000}，P(\xi =10)=\frac{243}{1000}，P(\xi =20)=$

✍【详细解析】

Abstract

解：由题意可知，每次摸球是有放回的，因此各次摸球之间相互独立。 每次摸球摸到红球的概率为 $p=\frac{1}{10}$，摸到白球的概率为 $q=\frac{9}{10}$。 设甲摸出红球的个数为 $X$，则 $X$ 的可能取值为 $0,1$，且： $P(X=0)=\frac{9}{10},P(X=1)=\frac{1}{10}$ 设乙摸出红球的个数为 $Y$，则 $Y\sim B\left(2,\frac{1}{10}\right)$，其可能取值为 $0,1,2$，且： $P(Y=0)=C_2^0{\left(\frac{1}{10}\right)}^0{\left(\frac{9}{10}\right)}^2=\frac{81}{100}$ $P(Y=1)=C_2^1{\left(\frac{1}{10}\right)}^1{\left(\frac{9}{10}\right)}^1=\frac{18}{100}$ $P(Y=2)=C_2^2{\left(\frac{1}{10}\right)}^2{\left(\frac{9}{10}\right)}^0=\frac{1}{100}$

(1) 随机变量 $\xi$ 表示两人获得的奖金总额，其可能取值为：0, 10, 20, 50, 60。 分别计算各取值对应的概率：

• 当 $\xi =0$ 时，即甲、乙均未摸到红球（$X=0$ 且 $Y=0$）： $P(\xi =0)=P(X=0)P(Y=0)=\frac{9}{10}\times \frac{81}{100}=\frac{729}{1000}$
• 当 $\xi =10$ 时，即甲摸到 1 个红球且乙未摸到，或甲未摸到且乙摸到 1 个红球（$X=1,Y=0$ 或 $X=0,Y=1$）： $P(\xi =10)=P(X=1)P(Y=0)+P(X=0)P(Y=1)=\frac{1}{10}\times \frac{81}{100}+\frac{9}{10}\times \frac{18}{100}=\frac{81+162}{1000}=\frac{243}{1000}$
• 当 $\xi =20$ 时，即甲摸到 1 个红球且乙摸到 1 个红球（$X=1$ 且 $Y=1$）： $P(\xi =20)=P(X=1)P(Y=1)=\frac{1}{10}\times \frac{18}{100}=\frac{18}{1000}$
• 当 $\xi =50$ 时，即甲未摸到红球且乙摸到 2 个红球（$X=0$ 且 $Y=2$）： $P(\xi =50)=P(X=0)P(Y=2)=\frac{9}{10}\times \frac{1}{100}=\frac{9}{1000}$
• 当 $\xi =60$ 时，即甲摸到 1 个红球且乙摸到 2 个红球（$X=1$ 且 $Y=2$）： $P(\xi =60)=P(X=1)P(Y=2)=\frac{1}{10}\times \frac{1}{100}=\frac{1}{1000}$

所以，$\xi$ 的分布列为：

$\xi$	0	10	20	50	60
$P$	$\frac{729}{1000}$	$\frac{243}{1000}$	$\frac{18}{1000}$	$\frac{9}{1000}$	$\frac{1}{1000}$

(2) 根据离散型随机变量数学期望的定义，$\xi$ 的数学期望为： $E(\xi )=0\times \frac{729}{1000}+10\times \frac{243}{1000}+20\times \frac{18}{1000}+50\times \frac{9}{1000}+60\times \frac{1}{1000}$ $E(\xi )=\frac{0+2430+360+450+60}{1000}=\frac{3300}{1000}=3.3（元）$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：独立试验概率乘法公式、随机变量分布列的规范表格、数学期望公式。
• 核心方法：状态空间完全列举法。
• 避坑指南：
• 列出分布列后，务必将所有概率进行加和检验：$\frac{729+243+18+9+1}{1000}=\frac{1000}{1000}=1$，确保不重不漏。
• 注意乙摸到 2 个红球时的奖金是 50 元而不是 20 元（非线性递增奖金），在对应 $\xi$ 的取值时要仔细审题。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题基于概率基础章节中“独立重复试验与二项分布”设计，结合了现实生活中的抽奖促销场景，考查基本的概率建模能力。 结论推广: 在涉及多主体独立行为的概率合成问题中，若各主体的收益函数为非线性（如本题乙摸 2 次红球直接跨越式获得 50 元），则不能简单利用期望的线性性质 $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ 的原始对应值直接相加，必须通过列出联合分布列来求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.04 二项分布与超几何分布
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2007-北京卷理-18 解-离散型随机变量分布列数学期望
• 2007-四川卷理-18 解-离散型随机变量分布列数学期望
• 2007-大纲卷I理-18 解-离散型随机变量分布列数学期望