2006-江西卷理-17 解-函数在闭区间上的最值与恒成立问题

本题导读

本题考查导数在研究一元三次函数单调性、极值与闭区间最值中的应用。通过极值点逆求导函数参数，再利用单调性锁定闭区间上的最大值以解决恒成立问题。

📌【题干】

Question

（2006年江西卷(理)） 已知函数 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ 在 $x=-\frac{2}{3}$ 与 $x=1$ 时都取得极值。

(1) 求 $a$、$b$ 的值与函数 $f(x)$ 的单调区间；

(2) 若对 $x\in [-1,2]$，不等式 $f(x)<c^2$ 恒成立，求 $c$ 的取值范围。

🔍【思路分析】

破题导航

第一问：对 $f(x)$ 求导，由极值点性质可知 $x=-\frac{2}{3}$ 和 $x=1$ 是导方程 $f^{\prime }(x)=0$ 的两个根，利用韦达定理或方程组解出 $a,b$。代回导函数，根据导数正负符号划分单调区间。 第二问：不等式 $f(x)<c^2$ 恒成立，等价于 $f(x)$ 在 $x\in [-1,2]$ 上的最大值小于 $c^2$。利用第一问的单调性，比较两个端点值 $f(-1),f(2)$ 与极大值 $f\left(-\frac{2}{3}\right)$ 的大小，锁定最大值并解关于 $c$ 的一元二次不等式。

✅【答案】

Success

（1）a=−\dfrac{1}{2}，b=−2；函数在(−∞,−\dfrac{2}{3})和(1,+∞)上单调递增，在(−2

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 对函数 $f(x)$ 求导得： $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$

因为 $f(x)$ 在 $x=-\frac{2}{3}$ 与 $x=1$ 时都取得极值， 所以 $x=-\frac{2}{3}$ 和 $x=1$ 是方程 $3x^2+2ax+b=0$ 的两个实数根。 由韦达定理可得： $\{\begin{array}{l}-\frac{2}{3}+1=-\frac{2a}{3}\\ -\frac{2}{3}\times 1=\frac{b}{3}\end{array}⟹\{\begin{array}{l}\frac{1}{3}=-\frac{2a}{3}\\ -\frac{2}{3}=\frac{b}{3}\end{array}⟹\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=-2\end{array}$

将 $a,b$ 的值代回导函数中： $f^{\prime }(x)=3x^2-x-2=(3x+2)(x-1)$

令 $f^{\prime }(x)=0$，解得 $x_1=-\frac{2}{3}$， $x_2=1$。 各区间内导数的符号与函数的单调性如下表所示：

$x$	$\left(-\infty ,-\frac{2}{3}\right)$	$-\frac{2}{3}$	$\left(-\frac{2}{3},1\right)$	$1$	$(1,+\infty )$
$f^{\prime }(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

所以， 函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left(-\infty ,-\frac{2}{3}\right)$ 和 $(1,+\infty )$；单调递减区间为 $\left(-\frac{2}{3},1\right)$。

(2) 要使对一切 $x\in [-1,2]$，不等式 $f(x)<c^2$ 恒成立，只需满足： $[f(x){]}_{\text{max}}<c^2(x\in [-1,2])$

由 (1) 的单调性可知，$f(x)$ 在 $x\in [-1,2]$ 上的可能最大值在极大值点 $x=-\frac{2}{3}$ 或右端点 $x=2$ 处取得。 代入参数 $a=-\frac{1}{2},b=-2$，计算对应的函数值： $f\left(-\frac{2}{3}\right)={\left(-\frac{2}{3}\right)}^3-\frac{1}{2}{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2-2\left(-\frac{2}{3}\right)+c=-\frac{8}{27}-\frac{2}{9}+\frac{4}{3}+c=\frac{22}{27}+c$ $f(2)=2^3-\frac{1}{2}\times 2^2-2\times 2+c=8-2-4+c=2+c$

比较可得： $\frac{22}{27}+c<2+c⟹f\left(-\frac{2}{3}\right)<f(2)$ 因此， 函数 $f(x)$ 在 $[-1,2]$ 上的最大值为 $f(2)=2+c$。

根据题意，必须满足： $2+c<c^2⟹c^2-c-2>0$ 解此一元二次不等式： $(c-2)(c+1)>0⟹c>2\text{ 或 }c<-1$

故 $c$ 的取值范围为 $(-\infty ,-1)\cup (2,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：极值点与导函数零点的对应关系、利用导数表判定闭区间最值、恒成立不等式转化。
• 核心方法：韦达定理法、端点与极值点代数比较法。
• 避坑指南：
• 确定闭区间上的最大值时，不能只看极大值 $f\left(-\frac{2}{3}\right)$，必须将其与右端点 $f(2)$ 的值进行定量大小比对，三次函数在越过极小值点后会剧烈上升，端点值往往会超越极大值。
• 最终求解的是关于 $c$ 的二次不等式，注意不等号方向开口朝外。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题为典型的导数工具考查大题，源自课本“导数在研究函数中的应用”章节中关于极值与最值交汇的经典课后例题。 结论推广: 对于三次函数 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$，若在 $x_1,x_2$ ($x_1<x_2$) 处取得极值，且给定闭区间 $[x_1-\Delta ,x_2+\Delta ]$，其最值必然分布在极值点或边界端点处，通用策略是直接对潜在的极值与端点进行作差比较。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2007-四川文-20 解-三次函数切线与最值
• 2007-大纲Ⅱ文-22 解-三次函数极值与参数范围
• 2008-大纲Ⅱ文-21 解-三次函数极值与最值恒成立