本题导读
本题考查空间多面体表面动点路径最值问题。核心方法是将直三棱柱的相邻两个侧面平铺展开放置在同一个二维平面内，利用“两点之间线段最短”将空间折线最值转化为平面直线的勾股定理计算。
📌【题干】
Question
（2006年江西卷(理)） 如图，在直三棱柱 中，底面为直角三角形， ， ， 是 上一动点，则 的最小值为.
🔍【思路分析】
破题导航
明确空间动点 位于侧面矩形 的对角线 上。要求 的最小值，需将点 和点 所在的侧面进行二维平铺展开。 围绕公共棱 ，将侧面 （矩形 ）与侧面 （矩形 ）沿 展开至同一平面内。 连接展开后的 与 ，根据平面几何知识，当 点为 与对角线 的交点时，折线 连成直线，此时路径最短。 构建直角三角形，利用已知棱长通过勾股定理求解线段 的长度。
✅【答案】
Success
✍【详细解析】
Abstract
解：在直三棱柱 中，由于底面 ，可知侧面 侧面 。 为了求出 的最小值，我们将这两个互相垂直的侧面绕着它们的公共边 展开放置到同一个平面内：
在展开后的平面图形中：
- 与 拼成一个大的组合平面区域；
- 动点 位于线段 上；
- 根据“两点之间线段最短”的公理，当 三点共线时（即平面线段 与 相交于点 时）， 取得最小值，该最小值即为线段 的长。
在平面直角网格或通过边长几何关系分析： 因为直三棱柱的侧棱垂直于底面，所以 。而在底面中 。 在展开的平面中，由于矩形拼合，。 我们可以直接在直角三角形 中利用勾股定理： 已知：
因为直三棱柱的侧棱与底面垂直，故 。 根据勾股定理：
所以， 的最小值为 。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：多面体表面两点间最短距离、侧面展开图的绘制与利用。
- 核心方法：降维展开法、两点之间线段最短。
- 避坑指南：
- 本题具有一定迷惑性。动点 所在的直线是矩形的对角线 ，而不是棱 。有些考生会误以为是绕着棱折返，从而构建了错误的直角三角形（如拼错边长导致算成 ）。
- 必须牢记在展开图中，直接求出起点 与终点 之间的直线距离即可。由于 在空间及平面内均为 ，直接套用侧面内的直角三角形求解。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源: 本题源自经典的初中“蚂蚁爬圆柱/长方体表面最短距离”模型在高中立体几何中的升级变形。 结论推广: 求解多面体表面动点折线之和最小值的通用方法为：确定动点所在的面或线，将折线两端的定点所在的平面沿着动点载体所在的轴线平铺展开为同一平面，连接定点直线段即为最值。
🔗【关联脉络】
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