2006-江西卷理-14 填-函数自变量代入化简

本题导读

本题考查对数函数与其反函数（指数函数）之间的互逆对应关系。通过对已知代数等式进行整体转换，绕过求解具体的 $m$ 和 $n$，直接求出目标函数值。

📌【题干】

Question

（2006年江西卷(理)） 设 $f(x)={\log }_3(x+6)$ 的反函数为 $f^{-1}(x)$，若 $[f^{-1}(m)+6]\cdot [f^{-1}(n)+6]=27$，则 $f(m+n)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

根据反函数的定义，若 $y=f^{-1}(x)$，则 $x=f(y)={\log }_3(y+6)$。 由对数式变指数式易得： $3^x=y+6$，即 $f^{-1}(x)+6=3^x$。 将此关系式直接应用到已知条件中，将 $[f^{-1}(m)+6]\cdot [f^{-1}(n)+6]=27$ 转化为关于底数为 3 的指数幂方程，从而求出 $m+n$ 的值。 将 $m+n$ 的结果代回原函数 $f(x)$ 即可。

✅【答案】

Success

$2$

✍【详细解析】

Abstract

解：因为 $f(x)={\log }_3(x+6)$， 设 $y=f^{-1}(x)$，则根据反函数的互逆映射性质有： $x=f(y)⟹x={\log }_3(y+6)$

将对数式转化为指数式： $3^x=y+6⟹3^x=f^{-1}(x)+6$

由此可知，对任意自变量，均有结构关系： $f^{-1}(x)+6=3^x$。 将此关系代入已知等式 $[f^{-1}(m)+6]\cdot [f^{-1}(n)+6]=27$ 中： $3^m\cdot 3^n=27⟹3^{m+n}=3^3$

根据指数单调性，直接解得： $m+n=3$

最后求目标函数 $f(m+n)$ 的值： $f(m+n)=f(3)={\log }_3(3+6)={\log }_{3}9=2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：反函数的同解变形性质（ $y=f^{-1}(x)⟺x=f(y)$）、对数指数转化。
• 核心方法：整体结构代换法。
• 避坑指南：很多考生会盲目求出完整的反函数解析式 $f^{-1}(x)=3^x-6$，再费时费力地去代入算乘法。应当直接将 $(f^{-1}(x)+6)$ 作为一个整体与 $3^x$ 对齐，能大幅精简计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题基于对数函数与指数函数的互逆性设计，属于函数性质章节的标准基础概念转化题。 结论推广: 若 $f(x)={\log }_a(x+k)$，则其满足 $f^{-1}(x)+k=a^x$。若 $[f^{-1}(m)+k][f^{-1}(n)+k]=a^p$，则必有 $f(m+n)=p$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2007-大纲Ⅰ文-14 填-对数型反函数
• 2011-上海卷理-01 填-对数反函数