2006-江西卷理-13 填-数列的极限

本题导读

本题考查经典分式通项数列的求和问题。先运用裂项相消法化简得到前 $n$ 项和 $S_n$ 的代数式，再通过取极限求得最终结果。

📌【题干】

Question

（2006年江西卷(理)） 数列 $\left\{\frac{1}{4n^2-1}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，则 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

将通项公式的母体进行因式分解： $4n^2-1=(2n-1)(2n+1)$。 利用裂项公式 $\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)$ 进行裂项。 将前 $n$ 项展开并相消，求出 $S_n$。 令 $n\to \infty$，求出 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n$。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解：设数列的通项为 $a_n=\frac{1}{4n^2-1}$。 对分母进行因式分解可得： $a_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$

进行裂项相消变形： $a_n=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)$

将各顶依次展开求前 $n$ 项和 $S_n$： $S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$ $S_n=\frac{1}{2}\left[\left(1-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\right]$ $S_n=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)$

求当 $n\to \infty$ 时 $S_n$ 的极限： ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n={\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)$ 因为 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{2n+1}=0$，所以： ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=\frac{1}{2}(1-0)=\frac{1}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：数列裂项相消法、无穷级数收敛极限。
• 核心方法：因式分解裂项法。
• 避坑指南：裂项时切勿漏掉前面的系数 $\frac{1}{2}$；注意展开相消后留下的是“首项的第一部分”与“末项的第二部分”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是教材中“等差等比之后的特殊数列求和”章节中最标准的级数求和题目。 结论推广: 经典无穷级数恒等式： ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{4n^2-1}=\frac{1}{2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2007-天津卷理-13 填-数列极限
• 2011-上海卷文-02 填-数列极限
• 2013-上海卷理-01 填-无穷数列极限运算