2006-江西卷理-10 单-古典概型与事件计数

本题导读

本题考查不完全平均分组的计数问题以及特定元素分在同一组的概率计算，侧重考查均分堆数消序和古典概型基础公式的应用。

📌【题干】

Question

（2006年江西卷(理)） 将 7 个人 (含甲、乙) 分成三个组，一组 3 人，另两组各 2 人，不同的分组数为 $a$，甲、乙分在同一组的概率为 $p$，则 $a$、$p$ 的值分别为()

A. $a=105,p=\frac{5}{21}$　　　　　　　　　　　B. $a=105,p=\frac{4}{21}$

C. $a=210,p=\frac{5}{21}$　　　　　　　　　　　D. $a=210,p=\frac{4}{21}$

🔍【思路分析】

破题导航

计算总分组数 $a$：先从 7 人中选 3 人作为一组，再从剩下 4 人中选 2 人作为一组，最后 2 人自动成组。由于有两个组的人数相同（均为 2 人）且组无特定标签，需除以 $A_2^2$ 消除组内顺序。 计算甲、乙分在同一组的方法数：分两种情况讨论：

• 情况①：甲、乙都在 3 人的那一组。
• 情况②：甲、乙在某一个 2 人的组中。 求概率 $p$：将符合条件的方法数除以总分组数 $a$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：1. 计算不同的分组数 $a$ 先从 7 个人中选出 3 人组成人数为 3 的组，有 $C_7^3$ 种选法； 再从剩下的 4 个人中选出 2 人组成一个人数为 2 的组，有 $C_4^2$ 种选法； 最后剩下的 2 个人自动结为一组，有 $C_2^2=1$ 种选法。 由于两个人数为 2 的组是无序的（即不加区分的平均分组），需要除以 $A_2^2$： $a=\frac{C_7^3\cdot C_4^2\cdot C_2^2}{A_2^2}=\frac{35\times 6\times 1}{2}=105$

2. 计算甲、乙分在同一组的可能分组数

• 情况①：甲、乙共同身处 3 人组。 此时 3 人组中还需要从其余 5 人中选 1 人，有 $C_5^1$ 种选法； 剩下的 4 人平均分成两组，每组 2 人，方法数为 $\frac{C_4^2\cdot C_2^2}{A_2^2}$。 此情况下的方法数为： $N_1=C_5^1\times \frac{C_4^2\cdot C_2^2}{A_2^2}=5\times \frac{6\times 1}{2}=15$

• 情况②：甲、乙共同身处某一个 2 人组。 此时该 2 人组已固定（只有甲、乙 2 人）； 剩下的 5 人需要分成一组 3 人，一组 2 人，方法数为 $C_5^3\cdot C_2^2$。 此情况下的方法数为： $N_2=C_5^3\cdot C_2^2=10\times 1=10$

所以，甲、乙分在同一组的总方法数为： $N=N_1+N_2=15+10=25$

3. 计算概率 $p$ 根据古典概型公式： $p=\frac{N}{a}=\frac{25}{105}=\frac{5}{21}$

综上所述，$a=105,p=\frac{5}{21}$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：无序分组与平均分组消序原则、古典概型的分类计数。
• 核心方法：分组消序法、分类讨论法。
• 避坑指南：
• 计算 $a$ 时，极易忘记除以 $A_2^2$，导致错选 C 或 D。只要有 $k$ 个组的人数相同且题目未指定组的名称（如“一、二、三组”或“去不同地方”），就属于局部平均分组，必须除以 $k!$。
• 分类计算甲、乙同组时，要分清他们是在 3 人组还是 2 人组，两类情况是互斥的，应用加法原理。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是排列组合中经典的“分配/分组模型”与古典概型的复合问题，旨在考查对元素无序堆分配的掌握。 结论推广: 将 $n$ 个元素分成 $m$ 个组，若其中有相同的组员人数，则总分组数等于不考虑堆序的选择数除以所有元素数量相同的组数的阶乘。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2007-湖北卷理-09 单-古典概型
• 2008-山东卷理-07 单-古典概型
• 2008-广东卷理-03 单-古典概型