2006-江西卷理-09 单-三角形三边关系

本题导读

本题考查双曲线第一定义与圆的几何性质交汇的最值问题。核心在于利用圆的定义将动点间的距离转化为动点到圆心的距离，再结合双曲线的定义进行求解。

📌【题干】

Question

（2006年江西卷(理)） $P$ 为双曲线 $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ 的右支上一点， $M 、 N$ 分别是圆 $(x + 5)^{2} + y^{2} = 4$ 和 $(x - 5)^{2} + y^{2} = 1$ 上的点，则 $∣ P M ∣ - ∣ P N ∣$ 的最大值为()

A. 6　　　　　　　B. 7　　　　　　　C. 8　　　　　　　D. 9

🔍【思路分析】

破题导航

解析圆的特征：圆 $O_{1} : (x + 5)^{2} + y^{2} = 4$ ，圆心为 $O_{1} (- 5, 0)$ ，半径 $R_{1} = 2$ 。圆 $O_{2} : (x - 5)^{2} + y^{2} = 1$ ，圆心为 $O_{2} (5, 0)$ ，半径 $R_{2} = 1$ 。 解析双曲线特征：双曲线中 $a^{2} = 9, b^{2} = 16 ⟹ c = a^{2} + b^{2} = 5$ 。容易发现，圆心 $O_{1} (- 5, 0)$ 和 $O_{2} (5, 0)$ 恰好是双曲线的左、右焦点 $F_{1}, F_{2}$ 。 转化目标代数式：根据圆的几何性质，对于圆上的动点 $M, N$ ，为了使 $∣ P M ∣ - ∣ P N ∣$ 最大，应当满足 $P, M, O_{1}$ 以及 $P, N, O_{2}$ 分别三点共线。具体满足： $∣ P M ∣_{max} = ∣ P F_{1} ∣ + R_{1}$ ， $∣ P N ∣_{min} = ∣ P F_{2} ∣ - R_{2}$ 。 利用双曲线第一定义求解：将转化后的最值代入，利用 $∣ P F_{1} ∣ - ∣ P F_{2} ∣ = 2 a = 6$ 统一消元计算。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：1. 对圆的方程进行几何定性：圆 $O_{1}$ 的圆心为 $O_{1} (- 5, 0)$ ，半径 $R_{1} = 2$ ；圆 $O_{2}$ 的圆心为 $O_{2} (5, 0)$ ，半径 $R_{2} = 1$ 。

对双曲线方程进行几何定性：由 $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ 得 $a = 3, b = 4$ 。半焦距 $c = a^{2} + b^{2} = 9 + 16 = 5$ 。因此，左焦点为 $F_{1} (- 5, 0)$ ，右焦点为 $F_{2} (5, 0)$ 。可以发现，圆心 $O_{1}$ 与 $F_{1}$ 重合，圆心 $O_{2}$ 与 $F_{2}$ 重合。

转化动点距离：由于 $M$ 是圆 $F_{1}$ 上的点，根据三角形三边关系或圆的几何性质，恒有： $∣ P M ∣ \leq ∣ P F_{1} ∣ + R_{1} = ∣ P F_{1} ∣ + 2$ 由于 $N$ 是圆 $F_{2}$ 上的点，同理恒有： $∣ P N ∣ \geq ∣ P F_{2} ∣ - R_{2} = ∣ P F_{2} ∣ - 1 ⟹ - ∣ P N ∣ \leq - ∣ P F_{2} ∣ + 1$

将两式相加，可得： $∣ P M ∣ - ∣ P N ∣ \leq (∣ P F_{1} ∣ + 2) - (∣ P F_{2} ∣ - 1) = ∣ P F_{1} ∣ - ∣ P F_{2} ∣ + 3$

引入双曲线定义：因为点 $P$ 在双曲线的右支上，根据双曲线的第一定义，有： $∣ P F_{1} ∣ - ∣ P F_{2} ∣ = 2 a = 2 \times 3 = 6$

代入最值放大式中： $∣ P M ∣ - ∣ P N ∣ \leq 6 + 3 = 9$ （当且仅当 $F_{1}, M, P$ 三点共线且 $M$ 在外侧， $P, N, F_{2}$ 三点共线且 $N$ 在内侧时，等号同时成立）。

因此， $∣ P M ∣ - ∣ P N ∣$ 的最大值为 9。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的第一定义、圆的几何最值（两点间距离与半径的伸缩关系）。

核心方法：几何最值转化法、焦点代换法。

避坑指南：

必须先识别出圆心即为焦点的关键隐藏条件。

在处理 $∣ P N ∣$ 前面的负号时，要实现整体最大化，应当让 $∣ P M ∣$ 取最大值（加半径），而让减数 $∣ P N ∣$ 取最小值（减半径）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是基于双曲线经典性质“到两焦点距离之差为定值”设计的复合最值题。通过给焦点“套上圆的外壳”，将焦点距离转化为圆上动点距离。结论推广: 设 $P$ 为双曲线右支上的动点， $M, N$ 分别是以左、右焦点 $F_{1}, F_{2}$ 为圆心， $R_{1}, R_{2}$ 为半径的圆上的动点。则 $∣ P M ∣ - ∣ P N ∣$ 的最大值为 $2 a + R_{1} + R_{2}$ ，最小值为 $2 a - R_{1} - R_{2}$ 。

🔗【关联脉络】

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2011-浙江卷理-08 单-椭圆双曲线

2012-山东卷(理)-10 单-椭圆与双曲线

2022-乙卷理-11 单-双曲线与圆

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