2006-江西卷理-04 单-点在曲线上的坐标代入法

本题导读

本题考查抛物线几何性质与平面向量数量积的交汇。通过设出动点坐标，利用向量的数量积建立关于坐标的方程组从而求解。

📌【题干】

Question

（2006年江西卷(理)） 设 $O$ 为坐标原点， $F$ 为抛物线 $y^2=4x$ 的焦点， $A$ 为抛物线线上的一点，若 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{AF}=-4$，则点 $A$ 的坐标为()

A. $(2,\pm 2\sqrt{2})$　　　　B. $(1,\pm 2)$　　　　C. $(1,2)$　　　　D. $(2,2\sqrt{2})$

🔍【思路分析】

破题导航

由抛物线方程 $y^2=4x$ 确定 $p=2$，写出焦点 $F$ 的坐标。 设 $A(x_0,y_0)$，由 $A$ 在抛物线上满足 $y_0^2=4x_0$。 写出向量 $\overrightarrow{OA}$ 和 $\overrightarrow{AF}$ 的坐标表示，计算数量积并令其等于 $-4$，求出 $x_0$，代回抛物线方程确定 $y_0$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：因为抛物线方程为 $y^2=4x$，所以 $2p=4⟹p=2$。 其焦点 $F$ 坐标为 $\left(\frac{p}{2},0\right)=(1,0)$，原点 $O(0,0)$。

设点 $A$ 的坐标为 $(x_0,y_0)$，由于点 $A$ 在抛物线上，则满足： $y_0^2=4x_0\text{(1)}$

写出相关向量的坐标： $\overrightarrow{OA}=(x_0,y_0)$ $\overrightarrow{AF}=F-A=(1-x_0,-y_0)$

根据平面向量的数量积坐标公式，计算 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{AF}$： $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{AF}=x_0(1-x_0)+y_0(-y_0)=x_0-x_0^2-y_0^2$

已知 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{AF}=-4$，代入上式得： $x_0-x_0^2-y_0^2=-4\text{(2)}$

将①式 $y_0^2=4x_0$ 代入②式消去 $y_0$： $x_0-x_0^2-4x_0=-4⟹-x_0^2-3x_0+4=0$ $x_0^2+3x_0-4=0⟹(x_0+4)(x_0-1)=0$

解得 $x_0=1$ 或 $x_0=-4$。 由于抛物线 $y^2=4x$ 中 $x_0\ge 0$，故 $x_0=-4$ 舍去。

将 $x_0=1$ 代入①式得： $y_0^2=4\times 1=4⟹y_0=\pm 2$

所以点 $A$ 的坐标为 $(1,\pm 2)$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：抛物线的焦点坐标、向量的数量积坐标公式、解析几何方程组求解。
• 核心方法：坐标代数法。
• 避坑指南：
• 求解出 $x_0$ 的两个根后，必须结合抛物线的实际图形（开口向右，$x\ge 0$）舍去负根 $x_0=-4$。
• 开平方求 $y_0$ 时不要漏掉负值，由于抛物线关于 $x$ 轴对称，点 $A$ 对应上下两个对称点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源自教材中“抛物线的几何性质”与“平面向量数量积”的交叉选做题，属于经典的“向量作外壳，几何作内核”的圆锥曲线小题。 结论推广: 对于抛物线 $y^2=2px$ 上的动点 $A(x_0,y_0)$， $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{AF}=x_0\left(\frac{p}{2}-x_0\right)-y_0^2=\frac{p}{2}{x}_0-x_0^2-2p{x}_0=-x_0^2-\frac{3p}{2}{x}_0$。此代数式的值完全由横坐标 $x_0$ 唯一线性二次决定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-12 单-抛物线与向量垂直