2006-江西卷理-02 单-复数的共轭复数

本题导读

本题考查复数的代数除法运算，核心在于分子与分母同乘以分母的共轭复数进行分母实数化。

📌【题干】

Question

（2006年江西卷(理)） 已知复数 $z$ 满足 $(\sqrt{3}+3\text{i})z=3\text{i}$，则 $z$ 等于()

A. $\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$　　　B. $\frac{3}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}\text{i}$　　　C. $\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$　　　D. $\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}\text{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

将原方程变形为复数除法形式 $z=\frac{3\text{i}}{\sqrt{3}+3\text{i}}$。 分子、分母同乘以分母的共轭复数 $\sqrt{3}-3\text{i}$ 进行分母实数化，化简即得结果。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：由 $(\sqrt{3}+3\text{i})z=3\text{i}$ 可得： $z=\frac{3\text{i}}{\sqrt{3}+3\text{i}}$

分子与分母同乘以 $\sqrt{3}-3\text{i}$ 得： $z=\frac{3\text{i}(\sqrt{3}-3\text{i})}{(\sqrt{3}+3\text{i})(\sqrt{3}-3\text{i})}=\frac{3\sqrt{3}\text{i}-9{\text{i}}^2}{(\sqrt{3}{)}^2-(3\text{i}{)}^2}$

因为 ${\text{i}}^2=-1$，代入化简： $z=\frac{9+3\sqrt{3}\text{i}}{3-(-9)}=\frac{9+3\sqrt{3}\text{i}}{12}$ $z=\frac{9}{12}+\frac{3\sqrt{3}}{12}\text{i}=\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}\text{i}$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：复数代数形式的除法公式、 ${\text{i}}^2=-1$ 的代换。
• 核心方法：分母实数化法。
• 避坑指南：计算 $-9{\text{i}}^2$ 时注意符号变换， $-9\times (-1)=+9$，避免因粗心导致常数项符号写反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题为复数章节最基础的四则运算考核题，完全对应课本基本运算公式的直接应用。 结论推广: 复数除法通用公式为 $\frac{a+b\text{i}}{c+d\text{i}}=\frac{(a+b\text{i})(c-d\text{i})}{c^2+d^2}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)\text{i}}{c^2+d^2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2007-大纲卷II理-03 单-共轭复数复数相等充要条件
• 2008-山东文-02 单-共轭复数与除法
• 2013-福建卷理-01 单-共轭复数