2006-江西文-16 填-双曲线内切圆性质

本题导读

本题考查双曲线的定义，以及焦点三角形。

📌【题干】

Question

（2006年江西卷(文)） 已知 $F_1$，$F_2$ 为双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$ 且 $a\ne b$）的两个焦点。$P$ 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，点 $O$ 为坐标原点。下面四个命题： ① $△P{F}_1{F}_2$ 的内切圆的圆心必在直线 $x=a$ 上； ② $△P{F}_1{F}_2$ 的内切圆的圆心必在直线 $x=b$ 上； ③ $△P{F}_1{F}_2$ 的内切圆的圆心必在直线 $OP$ 上； ④ $△P{F}_1{F}_2$ 的内切圆必通过点 $(a,0)$。 其中真命题的代号是 $\underline{}$。（写出所有真命题的代号）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $c=\sqrt{a^2+b^2}$，$F_1=(-c,0)$、$F_2=(c,0)$，$P=(x,y)$ 在右支，$P{F}_1=\frac{cx}{a}+a$，$P{F}_2=\frac{cx}{a}-a$。
2. 设内心 $I$，由内心重心坐标公式得 $I=\left(a,\frac{ay}{x+a}\right)$。
3. 故内心在直线 $x=a$ 上（①真），因 $a\ne b$ 不在 $x=b$ 上（②假）；$P$ 异于顶点则 $y\ne 0$，$I$ 不在 $OP$ 上（③假）；内切圆与 $x$ 轴切于 $(a,0)$（④真）。

✅【答案】

Success

①④

✍【详细解析】

Abstract

令 $c=\sqrt{a^2+b^2}$，取 $F_1=(-c,0)$、$F_2=(c,0)$，并设 $P=(x,y)$。因 $P$ 在右支上，$x⩾a$，且 $y^2=\frac{b^2}{a^2}(x^2-a^2)$。 于是 $P{F}_1^2=(x+c{)}^2+y^2={\left(\frac{cx}{a}+a\right)}^2$，$P{F}_2^2=(x-c{)}^2+y^2={\left(\frac{cx}{a}-a\right)}^2$， 故 $P{F}_1=\frac{cx}{a}+a$，$P{F}_2=\frac{cx}{a}-a$。 设 $d_1=P{F}_1$，$d_2=P{F}_2$，内心为 $I$。由内心重心坐标公式 $\overrightarrow{OI}=\frac{d_2\overrightarrow{O{F}_1}+d_1\overrightarrow{O{F}_2}+2c\overrightarrow{OP}}{d_1+d_2+2c}$， 得 $x_I=\frac{-c{d}_2+c{d}_1+2cx}{d_1+d_2+2c}$，$y_I=\frac{2cy}{d_1+d_2+2c}$。 利用 $d_1-d_2=2a$ 和 $d_1+d_2=\frac{2cx}{a}$，得 $I=\left(a,\frac{ay}{x+a}\right)$。 所以内心必在直线 $x=a$ 上，①为真；因 $a\ne b$，不在直线 $x=b$ 上，②为假。 又因 $P$ 异于顶点，$y\ne 0$，若 $I$ 在 $OP$ 上则 $\frac{y}{x+a}=\frac{y}{x}$，推出 $x=x+a$，矛盾，③为假。 内切圆与 $F_1{F}_2$（即 $x$ 轴）相切，半径等于 $I$ 到 $x$ 轴的距离 $\left|\frac{ay}{x+a}\right|$，而点 $(a,0)$ 到 $I$ 的距离正好相等，故内切圆必过 $(a,0)$，④为真。 故选 ①④。（答案册误印为”A，D”，系将命题代号 ①②③④ 误写作选项代号，实际真命题为 ①④。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线内切圆性质

核心方法：内心横坐标定 a

避坑指南：焦点三角形内心横坐标恒为 $a$（①真②假）、不在 $OP$ 上（③假）、内切圆过 $(a,0)$（④真）；用内心坐标公式与 $d_1-d_2=2a$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自焦点三角形内心位置，圆锥曲线高观点题

结论推广: 内心横坐标为 $a$ 推广到焦点三角形各心位置

方法推广: 内心坐标公式与焦半径差联立

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-11 单-双曲线焦点三角形离心率
• 2008-四川文-11 单-双曲线焦点三角形面积