2006-江西文-09 单-等腰四棱锥命题

本题导读

本题考查空间点、线、面位置关系，以及等腰四棱锥。

📌【题干】

Question

（2006年江西卷(文)） 如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为”等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰。以下 $4$ 个命题中，假命题的是 ()

A. 等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等

B. 等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补

C. 等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆

D. 等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设顶点 $S$ 在底面射影为 $O$，由 $SA=SB=SC=SD$ 及勾股定理得 $OA=OB=OC=OD$，底面四边形有外接圆，C 真。
2. 侧棱与底面成角 $\alpha$ 满足 $\sin \alpha =\frac{SO}{SA}$，四条侧棱相等则四角相等，A 真。
3. 在 $SO$ 上取 $T$ 使 $T{S}^2=T{O}^2+R^2$（$R$ 为底面外接圆半径），$T$ 到各顶点等距，D 真。
4. 取底面为非正方形矩形、$S$ 在中心正上方，沿矩形两组不同边所成二面角不同且不互补，B 假。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设四棱锥顶点为 $S$，底面为 $ABCD$，$O$ 为 $S$ 在底面上的射影。 由 $SA=SB=SC=SD$ 及勾股定理得 $OA=OB=OC=OD$，故底面四边形存在以 $O$ 为圆心的外接圆，命题 C 正确。 设侧棱与底面所成角为 $\alpha$，则 $\sin \alpha =\frac{SO}{SA}$，四条侧棱相等时四个角相等，命题 A 正确。 设底面外接圆半径为 $R$，在直线 $SO$ 上取点 $T$ 使 $T{S}^2=T{O}^2+R^2$，则 $T$ 到 $S,A,B,C,D$ 的距离相等，各顶点共球面，命题 D 正确。 取底面为非正方形矩形、顶点 $S$ 在底面中心 $O$ 的正上方时，四条侧棱仍相等，而沿矩形两组不同长度的边所成二面角不同且不互补，命题 B 错误。 因此选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等腰四棱锥命题

核心方法：射影等距定底面外接圆

避坑指南：侧棱相等 $\Rightarrow$ 顶点在底面射影为外心（A、C、D 均真）；矩形底面两组边二面角不等且不互补，B 假

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自新定义”等腰四棱锥”，命题真假判断

结论推广: 射影为外心结构推广到各类对称几何体

方法推广: 反例用矩形底面即可否定 B

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2008-安徽文-03 单-空间位置命题
• 2009-安徽卷文-15 填-四面体命题