2006-江西文-06 单-恒成立定参

本题导读

本题考查不等式恒成立，以及分离参数。

📌【题干】

Question

（2006年江西卷(文)） 若不等式 $x^2+ax+1⩾0$ 对一切 $x\in \left(0,\frac{1}{2}\right]$ 成立，则 $a$ 的最小值为 ()

A. $0$　　　　　　　B. $-2$　　　　　　　C. $-\frac{5}{2}$　　　　　　　D. $-3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x>0$，不等式等价于 $a⩾-\left(x+\frac{1}{x}\right)$ 对 $x\in \left(0,\frac{1}{2}\right]$ 恒成立。
2. 令 $g(x)=x+\frac{1}{x}$，$g^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x^2}<0$（$0<x⩽\frac{1}{2}$），$g$ 递减。
3. 故右端最大值在 $x=\frac{1}{2}$ 处为 $-\frac{5}{2}$，即 $a⩾-\frac{5}{2}$；取 $a=-\frac{5}{2}$ 验证成立。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $x>0$，题设不等式等价于 $a⩾-\left(x+\frac{1}{x}\right)$ 对 $x\in \left(0,\frac{1}{2}\right]$ 恒成立。 令 $g(x)=x+\frac{1}{x}$，则 $g^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x^2}<0$（$0<x⩽\frac{1}{2}$），所以 $g$ 在该区间上递减， 最小值为 $g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{2}$，即右端 $-\left(x+\frac{1}{x}\right)$ 的最大值为 $-\frac{5}{2}$，故 $a⩾-\frac{5}{2}$。 当 $a=-\frac{5}{2}$ 时，$x^2-\frac{5}{2}x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)(x-2)⩾0$ 在 $\left(0,\frac{1}{2}\right]$ 上成立，所以 $a$ 的最小值为 $-\frac{5}{2}$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：恒成立定参

核心方法：分离参数配对勾

避坑指南：$a⩾-(x+\frac{1}{x})$ 在 $(0,\frac{1}{2}]$ 恒成立；$g=x+\frac{1}{x}$ 递减，$g(\frac{1}{2})=\frac{5}{2}$，$a⩾-\frac{5}{2}$；取等验证

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自恒成立求参数范围，分离参数经典题

结论推广: $a⩾-\left(x+\frac{1}{x}\right)$ 型推广到对勾函数最值

方法推广: 区间端点即最值处，取等要验证

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-安徽文-09 单-对勾函数最值
• 2008-新课标Ⅰ文-07 单-不等式恒成立