2006-江西文-03 单-等差数列递推性质

本题导读

本题考查等差数列的性质，以及等差中项。

📌【题干】

Question

（2006年江西卷(文)） 在各项均不为零的等差数列 $\{a_n\}$ 中，若 $a_{n+1}-a_n^2+a_{n-1}=0$（$n⩾2$），则 $S_{2n-1}-4n=$ ()

A. $-2$　　　　　　　B. $0$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由等差中项 $a_{n+1}+a_{n-1}=2a_n$，代入得 $2a_n-a_n^2=0$。
2. 即 $a_n(2-a_n)=0$，各项非零则 $a_n=2$（$n⩾2$）。
3. 于是 $a_2=a_3=2$ 得公差 $d=0$，$a_1=2$；$S_{2n-1}=2(2n-1)=4n-2$，故 $S_{2n-1}-4n=-2$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设公差为 $d$，对 $n⩾2$ 有 $a_{n+1}+a_{n-1}=2a_n$，代入题设得 $2a_n-a_n^2=0$， 即 $a_n(2-a_n)=0$。因各项均不为零，故 $a_n=2$（$n⩾2$）。 特别地 $a_2=a_3=2$，得 $d=0$ 且 $a_1=2$。 于是 $S_{2n-1}=2(2n-1)=4n-2$，故 $S_{2n-1}-4n=-2$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列递推性质

核心方法：等差中项代入化简

避坑指南：$a_{n+1}+a_{n-1}=2a_n$ 代入得 $2a_n-a_n^2=0$，各项非零则 $a_n=2$；恒为 $2$ 则 $d=0$，$S_{2n-1}-4n=-2$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自等差数列性质与递推结合，创新题

结论推广: $a_{n+1}+a_{n-1}=2a_n$ 消元法推广到各类中项结构

方法推广: 各项非零条件是舍弃 $a_n=0$ 的依据

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-北京文-07 单-等差数列偶数项子列
• 2008-天津文-04 单-等差数列基本量