2006-江西文-01 单-集合交集运算

本题导读

本题考查集合的运算，以及分式不等式。

📌【题干】

Question

（2006年江西卷(文)） 已知集合 $P=\{x\mid x(x-1)⩾0\}$，$Q=\left\{x|\frac{1}{x-1}>0\right\}$，则 $P\cap Q$ 等于 ()

A. $\varnothing$　　　　　B. $\{x\mid x⩾1\}$　　　　　C. $\{x\mid x>1\}$　　　　　D. $\{x\mid x⩾1\text{或}x<0\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x(x-1)⩾0$ 的解为 $x⩽0$ 或 $x⩾1$，故 $P=(-\infty ,0]\cup [1,+\infty )$。
2. $\frac{1}{x-1}>0$ 的分子为正，只需 $x-1>0$，故 $Q=(1,+\infty )$。
3. $P\cap Q=(1,+\infty )$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由 $x(x-1)⩾0$ 得 $x⩽0$ 或 $x⩾1$，所以 $P=(-\infty ,0]\cup [1,+\infty )$。 由 $\frac{1}{x-1}>0$，因分子 $1>0$，等价于 $x-1>0$，即 $x>1$，所以 $Q=(1,+\infty )$。 故 $P\cap Q=(1,+\infty )=\{x\mid x>1\}$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合交集运算

核心方法：先解两集合再取交

避坑指南：$P=(-\infty ,0]\cup [1,+\infty )$，$Q=(1,+\infty )$（分子为正看分母）；交为 $(1,+\infty )$；分式不等式别乱去分母

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自集合交并补运算，描述法解析式混合

结论推广: $P\cap Q$ 推广到分式定义域与不等式解集的交

方法推广: 分式不等式先定分母符号再化同解

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2008-北京文-01 单-集合交集
• 2008-大纲Ⅱ文-02 单-集合交集运算