2006-江苏卷-13 填-同色球排列计数

本题导读

$9$ 球排列 $9!$，同色球不区分除以 $2!3!4!$，得 $1260$。

📌【题干】

Question

（2006年江苏卷） 今有 $2$ 个红球，$3$ 个黄球，$4$ 个白球，同色球不加以区分，将这 $9$ 个球排成一列有 $\underline{}$ 种不同的方法。（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. $9$ 个球若全部不同，排列数为 $9!$。
2. 但 $2$ 个红球相同、$3$ 个黄球相同、$4$ 个白球相同，需除以重复。
3. 排列数为 $\frac{9!}{2!3!4!}$。
4. 计算得 $1260$。

✅【答案】

Success

$1260$

✍【详细解析】

Abstract

这是含相同元素的排列问题。$9$ 个球的全排列数为 $9!$， 但由于 $2$ 个红球、$3$ 个黄球、$4$ 个白球分别不可区分， 需除以相同元素的排列数 $2!$、$3!$、$4!$。 故不同排列方法数为 $\frac{9!}{2!3!4!}=\frac{362880}{2\times 6\times 24}=1260$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同色球排列计数

核心方法：同色球排列除以重复

避坑指南：$9$ 球排列 $9!$，除以同色重复 $2!3!4!$ 得 $\frac{9!}{2!3!4!}=1260$；同色不区分才除

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自排列中”相同元素”的计数，考查同色球不区分的排列

结论推广: 相同元素排列除以各重复阶乘，推广到多重集排列的一般公式 $\frac{n!}{\prod n_i!}$

方法推广: $2$ 红 $3$ 黄 $4$ 白共 $9$ 球，排列数 $\frac{9!}{2!3!4!}=1260$，别忘除以同色重复

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2008-天津文-16 填-卡片排列计数
• 2009-重庆卷文-13 填-不相邻排列
• 2010-辽宁文-13 填-卡片排列概率