2006-江苏卷-10 单-线路分组接收信号概率

本题导读

左右各平均分三组各有 $15$ 种，全通要求分组对应，概率 $\frac{4}{15}$。

📌【题干】

Question

（2006年江苏卷） 图中有一个信号源和五个接收器。接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是 ()

A. $\frac{4}{45}$　　　　　　B. $\frac{1}{36}$　　　　　　C. $\frac{4}{15}$　　　　　　D. $\frac{8}{15}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 左端 $6$ 点平均分三组，分组数 $\frac{{\mathrm{C}}_6^2{\mathrm{C}}_4^2{\mathrm{C}}_2^2}{3!}=15$。
2. 右端同理 $15$ 种，总基本事件 $15\times 15$。
3. 五接收器全通要求左右分组完全对应，仅需确定左端分组（$15$ 种中满足的 $4$ 种）后右端唯一确定。
4. 概率为 $\frac{4\times 15}{15\times 15}=\frac{4}{15}$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

左端六个接线点平均分成三组的方法数为 $\frac{{\mathrm{C}}_6^2{\mathrm{C}}_4^2{\mathrm{C}}_2^2}{3!}=15$，右端同样为 $15$。 总的基本事件数为 $15\times 15=225$。 要使五个接收器同时接收到信号，需左右两端的分组完全”匹配”，即右端分组由左端分组唯一确定。 满足条件的分组数为 $4\times 15$（左端有 $4$ 种分组使信号源与各接收器正确配对）， 故概率为 $\frac{4\times 15}{15\times 15}=\frac{4}{15}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线路分组接收信号概率

核心方法：分组对等概率

避坑指南：左右各分三组共 $15\times 15$ 种，五接收器全通要求左右分组完全对应，概率 $\frac{4}{15}$；分母为分组数 $15$ 而非排列数 $90$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自排列组合中等可能事件概率，是”分组对应”模型的经典题

结论推广: 左右分组对等计数可推广到”一一对应成功”类概率的分子分母确定

方法推广: 六个点平均分三组的分组数为 $\frac{C_6^2{C}_4^2{C}_2^2}{3!}=15$，分母别用全排列

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-08 单-分组概率
• 2009-江西卷文-10 单-比赛相遇概率
• 2012-安徽卷(理)-05 单-概率