2006-江苏卷-04 单-正弦型图象变换

本题导读

$y=2\sin x$ 先向左平移 $\frac{\pi }{6}$ 再横坐标伸长 $3$ 倍，得 $y=2\sin \left(\frac{x}{3}+\frac{\pi }{6}\right)$。

📌【题干】

Question

（2006年江苏卷） 为了得到函数 $y=2\sin \left(\frac{x}{3}+\frac{\pi }{6}\right)$，$x\in \mathbf{R}$ 的图象，只需把函数 $y=2\sin x$，$x\in \mathbf{R}$ 的图象上所有的点 ()

A. 向左平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{3}$ 倍（纵坐标不变）

B. 向右平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{3}$ 倍（纵坐标不变）

C. 向左平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 $3$ 倍（纵坐标不变）

D. 向右平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 $3$ 倍（纵坐标不变）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 目标函数 $y=2\sin \left(\frac{x}{3}+\frac{\pi }{6}\right)$ 可看作先平移后伸缩。
2. 先向左平移 $\frac{\pi }{6}$：$y=2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$。
3. 再将横坐标伸长到原来的 $3$ 倍：$y=2\sin \left(\frac{x}{3}+\frac{\pi }{6}\right)$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

把 $y=2\sin x$ 的图象向左平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位，得 $y=2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$。 再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 $3$ 倍（纵坐标不变）， 即把 $x$ 换成 $\frac{x}{3}$，得 $y=2\sin \left(\frac{x}{3}+\frac{\pi }{6}\right)$。 故应选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦型图象变换

核心方法：先伸缩后平移定序

避坑指南：$y=2\sin x\to y=2\sin (x+\frac{\pi }{6})$ 平移再横坐标伸长 $3$ 倍得 $\sin (\frac{x}{3}+\frac{\pi }{6})$；注意 $\frac{x}{3}$ 对应伸长而非缩短

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自三角函数图象变换的规范流程，考查”先平移后伸缩”的顺序

结论推广: $y=\sin x\to \sin (x+\phi )\to \sin (\omega x+\phi )$ 的变换顺序推广到一般正弦型函数

方法推广: 伸缩变换只作用在自变量 $x$ 上，$\frac{x}{3}$ 对应横坐标伸长 $3$ 倍

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2012-浙江卷文-06 单-三角函数图象变换
• 2014-四川卷理-03 单-正弦函数图象的平移变换
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