2006-江苏卷-01 单-奇函数定参

本题导读

奇函数在 $x=0$ 有定义时 $f(0)=0$，即 $-|a|=0$，得 $a=0$。

📌【题干】

Question

（2006年江苏卷） 已知 $a\in \mathbf{R}$，函数 $f(x)=\sin x-|a|$，$x\in \mathbf{R}$ 为奇函数，则 $a=($\quad\quad$)$

A. $0$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $-1$　　　　　　　D. $\pm 1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 奇函数的定义域关于原点对称，且 $f(-x)=-f(x)$。
2. 取 $x=0$：$f(0)=\sin 0-|a|=-|a|$，奇函数须 $f(0)=0$。
3. 故 $-|a|=0$，即 $a=0$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

函数 $f(x)=\sin x-|a|$ 为奇函数，则对任意 $x$ 有 $f(-x)=-f(x)$。 特别地，取 $x=0$，$f(0)=\sin 0-|a|=-|a|$。 奇函数若在 $x=0$ 处有定义，必有 $f(0)=0$，故 $-|a|=0$，即 $a=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇函数定参

核心方法：奇函数定义求参数

避坑指南：奇函数须 $f(0)=0$，即 $-|a|=0$，$a=0$；|a| 恒非负，$a=\pm 1$ 时 $f(0)=-1\ne 0$ 不符

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自教材函数奇偶性定义的标准应用，是”奇函数 $f(0)=0$“这一结论的直接考查

结论推广: 奇函数在 $x=0$ 有定义时必有 $f(0)=0$，可推广到含参数奇函数定参的一般套路

方法推广: 判断含参函数奇偶性时，优先检验 $f(0)$ 与 $f(-x)$，减少计算

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2007-江苏卷-08 单-奇函数定参解不等式
• 2011-辽宁卷文-06 单-分式奇函数求参
• 2011-江西卷理-02 单-奇函数