2006-广东卷-11 填-分式极限化简

本题导读

$\frac{4}{4-x^2}-\frac{1}{2+x}=\frac{4}{(2-x)(2+x)}-\frac{1}{2+x}=\frac{2+x}{(2-x)(2+x)}=\frac{1}{2-x}$，故 $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{1}{2-x}=\frac{1}{2-(-2)}=\frac{1}{4}$。

📌【题干】

Question

（2006年广东卷） $\underset{x\to -2}{\lim }\left(\frac{4}{4-x^2}-\frac{1}{2+x}\right)=$　　　　.

🔍【思路分析】

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1. 直接代入 $x=-2$ 得 $\infty -\infty$ 型，先通分化简。
2. $\frac{4}{4-x^2}-\frac{1}{2+x}=\frac{4}{(2-x)(2+x)}-\frac{2-x}{(2-x)(2+x)}=\frac{4-(2-x)}{(2-x)(2+x)}=\frac{2+x}{(2-x)(2+x)}$。
3. 约去 $(2+x)$（$x\ne -2$ 时），得 $\frac{1}{2-x}$。
4. 取极限 $\frac{1}{2-(-2)}=\frac{1}{4}$。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

当 $x\ne -2$ 时， $\frac{4}{4-x^2}-\frac{1}{2+x}=\frac{4}{(2-x)(2+x)}-\frac{2-x}{(2-x)(2+x)}=\frac{2+x}{(2-x)(2+x)}=\frac{1}{2-x}.$ 所以 ${\lim }_{x\to -2}\left(\frac{4}{4-x^2}-\frac{1}{2+x}\right)={\lim }_{x\to -2}\frac{1}{2-x}=\frac{1}{2-(-2)}=\frac{1}{4}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分式极限化简

核心方法：$\frac{4}{4-x^2}-\frac{1}{2+x}=\frac{4}{(2-x)(2+x)}-\frac{1}{2+x}=\frac{1}{2-x}$，极限 $\frac{1}{2-(-2)}=\frac{1}{4}$

避坑指南：先通分消去 $0/0$ 型；$4-x^2=(2-x)(2+x)$ 因式分解后约去 $(2+x)$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 分式极限的化简，$0/0$ 型

结论推广: 通分约去零因子 $\frac{1}{2-x}\to \frac{1}{4}$

方法推广: 求极限先化简消去不定式，再代值

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2007-辽宁卷理-13 填-函数极限定理
• 2012-重庆卷(理)-12 填-数列极限
• 2013-上海卷理-01 填-无穷数列极限运算