2006-广东卷-09 单-线性规划最值范围

本题导读

当 $3⩽s⩽4$ 时，最优解在 $(4-s,2s-4)$，$z=s+4\in [7,8]$；当 $4⩽s⩽5$ 时，$y+2x⩽4$ 已蕴含 $x+y⩽4⩽s$，故 $x+y⩽s$ 失效，最大值恒为 $z=8$。故 $z$ 最大值的范围为 $[7,8]$，选 D。

📌【题干】

Question

（2006年广东卷） 在约束条件 $\{\begin{array}{l}x⩾0,\\ y⩾0,\\ x+y⩽s,\\ y+2x⩽4\end{array}$ 下，当 $3⩽s⩽5$ 时，目标函数 $z=3x+2y$ 的最大值的变化范围是()

A. $[6,15]$　　　　B. $[7,15]$　　　　C. $[6,8]$　　　　D. $[7,8]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 可行域由 $x⩾0,y⩾0,x+y⩽s,y+2x⩽4$ 围成，随 $s$ 变化。
2. 当 $3⩽s⩽4$ 时，约束 $x+y⩽s$ 有效，顶点为 $(0,0),(0,s),(4-s,2s-4),(2,0)$，$z$ 值分别为 $0,2s,s+4,6$，因 $s+4⩾2s$（$s⩽4$）且 $s+4>6$，最大 $z=s+4\in [7,8]$。
3. 当 $4⩽s⩽5$ 时，由 $y+2x⩽4$ 与 $x,y⩾0$ 得 $x+y⩽4⩽s$，$x+y⩽s$ 自动满足，可行域顶点为 $(0,0),(0,4),(2,0)$，最大 $z=8$。
4. 综上最大值范围 $[7,8]$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

可行域随参数 $s$ 变化，分段讨论． （Ⅰ）$3⩽s⩽4$ 时，约束 $x+y⩽s$ 有效，可行域顶点为 $(0,0)$、$(0,s)$、$(4-s,2s-4)$、$(2,0)$，目标函数 $z=3x+2y$ 在这些顶点的值分别为 $0$、$2s$、$s+4$、$6$． 因 $3⩽s⩽4$ 时 $s+4⩾2s$ 且 $s+4>6$，故最大值为 $s+4$，其范围为 $[7,8]$． （Ⅱ）$4⩽s⩽5$ 时，由 $y+2x⩽4$ 及 $x,y⩾0$ 可得 $x+y⩽4⩽s$，故约束 $x+y⩽s$ 不再起作用，可行域顶点为 $(0,0)$、$(0,4)$、$(2,0)$，$z$ 的最大值为 $8$． 综上，$z$ 的最大值的变化范围是 $[7,8]$，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划最值范围

核心方法：$3⩽s⩽4$ 时最优解在 $(4-s,2s-4)$，$z=s+4\in [7,8]$；$4⩽s⩽5$ 时 $x+y⩽s$ 失效，最大 $z=8$，故范围 $[7,8]$

避坑指南：$s$ 变化导致可行域变化，须分段讨论；$x+y⩽s$ 在 $s⩾4$ 时由 $y+2x⩽4$ 自动满足

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 含参线性规划最值范围，可行域随参数变化

结论推广: 分 $s\in [3,4]$、$s\in [4,5]$ 两段求最优解

方法推广: 参数影响约束时先判断约束是否有效，再分段讨论

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2007-天津卷理-02 单-简单线性规划最值问题
• 2008-新课标Ⅰ文-10 单-线性规划距离范围
• 2012-山东卷文-06 单-线性规划取值范围