2006-广东卷-08 单-双曲线第二定义

本题导读

双曲线 $3x^2-y^2=9$ 即 $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{9}=1$，$a=\sqrt{3},b=3,c=2\sqrt{3}$，离心率 $e=\frac{c}{a}=2$。右支上任一点到右焦点与到右准线的距离之比等于离心率 $e=2$，选 C。

📌【题干】

Question

（2006年广东卷） 已知双曲线 $3x^2-y^2=9$，则双曲线右支上的点 $P$ 到右焦点的距离与点 $P$ 到右准线的距离之比等于()

A. $\sqrt{2}$　　　　　　　B. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化为标准方程：$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{9}=1$，$a^2=3,b^2=9$。
2. $c^2=a^2+b^2=12$，$c=2\sqrt{3}$。
3. 离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2$。
4. 由双曲线第二定义，右支上点到右焦点与到右准线的距离之比恒等于 $e=2$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

将双曲线化为标准方程 $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{9}=1$，得 $a=\sqrt{3}$，$b=3$，$c=\sqrt{a^2+b^2}=2\sqrt{3}$，故离心率 $e=\frac{c}{a}=2.$ 由双曲线的第二定义，右支上任一点 $P$ 到右焦点的距离与到右准线的距离之比等于离心率 $e=2$，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线第二定义

核心方法：标准式 $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{9}=1$，$a=\sqrt{3},b=3,c=2\sqrt{3}$，$e=\frac{c}{a}=2$；右支点到右焦点与到右准线距离之比 $=e$

避坑指南：第二定义：双曲线（右支）上点到焦点与到相应准线距离之比恒等于离心率 $e$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 双曲线的第二定义与离心率

结论推广: $e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2$；点到焦点与到准线距离之比 $=e$

方法推广: 第二定义是双曲线、椭圆、抛物线的统一定义，注意焦准对应

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2007-江苏卷-03 单-双曲线渐近线离心率
• 2007-浙江卷理-09 单-双曲线离心率