2006-广东卷-03 单-奇函数减函数判定

本题导读

$y=-x^3$ 在 $\mathbf{R}$ 上为奇函数，且 $x^3$ 递增故 $-x^3$ 递减；$y=\sin x$ 不单调、$y=x$ 递增、$y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ 非奇函数，故选 A。

📌【题干】

Question

（2006年广东卷） 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()

A. $y=-x^3$，$x\in \mathbf{R}$　　B. $y=\sin x$，$x\in \mathbf{R}$　　C. $y=x$，$x\in \mathbf{R}$　　D. $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$，$x\in \mathbf{R}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. (A) $y=-x^3$：$f(-x)=-(-x{)}^3=x^3=-f(x)$ 奇函数；$x^3$ 递增，$-x^3$ 递减，符合。
2. (B) $y=\sin x$ 奇函数但非单调，舍。
3. (C) $y=x$ 递增，舍。
4. (D) $y=(1/2{)}^x$ 递减但非奇函数，舍。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

(A) $f(x)=-x^3$ 满足 $f(-x)=x^3=-f(x)$，为奇函数；又 $x^3$ 在 $\mathbf{R}$ 上递增，故 $-x^3$ 递减，符合”奇函数且减函数”． (B) $y=\sin x$ 虽为奇函数，但非单调函数． (C) $y=x$ 为增函数． (D) $y=(1/2{)}^x$ 为减函数但非奇函数． 故选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇函数减函数判定

核心方法：$y=-x^3$ 在 $\mathbf{R}$ 上奇函数且 $x^3$ 递增故 $-x^3$ 递减；$\sin x$ 非单调，$x$ 递增，$(1/2{)}^x$ 非奇函数

避坑指南：奇函数验证 $f(-x)=-f(x)$；减函数要求全定义域单调，正弦不满足

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 奇偶性与单调性的判定，基本初等函数性质

结论推广: $y=-x^3$ 奇且减；$y=\sin x$ 非单调；$y=(1/2{)}^x$ 非奇

方法推广: 逐项验证奇偶性再验单调性，两性缺一不可

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2007-广东文-03 单-奇偶性与单调性判定
• 2012-陕西卷文-02 单-奇函数与单调性
• 2015-湖南卷文-08 单-奇偶单调