2006-山东卷理-18 解-含参函数的分类讨论思想

本题导读

本题考查利用导数工具研究含参函数的单调性。核心在于求出导函数并通分后，针对分子一阶多项式的零点相对位置及系数的正负号，结合函数的定义域进行严密的分类讨论。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(理)） 设函数 $f(x)=ax-(a+1)\ln (x+1)$，其中 $a\ge -1$，求 $f(x)$ 的单调区间.

🔍【思路分析】

破题导航

确定定义域与求导：由对数真数大于 0 的约束，确定定义域为 $(-1,+\infty )$。对 $f(x)$ 求导并通分，合并成一个统一的分式形式： $f^{\prime }(x)=\frac{ax-1}{x+1}$。 零点分析与分类讨论：分母 $x+1>0$ 恒成立，导数正负由分子 $h(x)=ax-1$ 完全决定。根据参数 $a$ 在给定范围 $[-1,+\infty )$ 内的不同取值，讨论 $a=0$、 $-1\le a<0$ 以及 $a>0$ 时一阶一次方程 $ax-1=0$ 的根分布及其在定义域区间的符号，最终锁定单调区间。

✅【答案】

Success

• 当 $-1\le a\le 0$ 时， $f(x)$ 的单调递减区间为 $(-1,+\infty )$，无单调递增区间；- 当 $a>0$ 时， $f(x)$ 的单调递减区间为 $\left(-1,\frac{1}{a}\right)$，单调递增区间为 $\left(

✍【详细解析】

Abstract

解：函数 $f(x)$ 的对数真数满足 $x+1>0$，故定义域为： $x\in (-1,+\infty )$

对 $f(x)$ 进行求导运算： $f^{\prime }(x)=a-(a+1)\cdot \frac{1}{x+1}$ 通分合并得： $f^{\prime }(x)=\frac{a(x+1)-(a+1)}{x+1}=\frac{ax+a-a-1}{x+1}=\frac{ax-1}{x+1}$

因为在定义域内，分母 $x+1>0$ 恒成立， 所以导函数 $f^{\prime }(x)$ 的正负符号完全由分子一阶多项式 $h(x)=ax-1$ 决定。 已知已知条件 $a\ge -1$，下面根据参数 $a$ 的正负和零点分布进行分类讨论：

• 情况 1：当 $-1\le a\le 0$ 时：

• 若 $a=0$，则 $f^{\prime }(x)=\frac{-1}{x+1}<0$ 恒成立；

• 若 $-1\le a<0$，由于 $x>-1⟹ax<-a\le 1⟹ax-1<0$。 由此可知，当 $-1\le a\le 0$ 时，对所有 $x\in (-1,+\infty )$，恒有 $f^{\prime }(x)<0$。 所以，函数 $f(x)$ 在 $(-1,+\infty )$ 上单调递减。

• 情况 2：当 $a>0$ 时： 令 $f^{\prime }(x)=0⟹ax-1=0⟹x=\frac{1}{a}$。 因为 $a>0$，所以极值点 $\frac{1}{a}>0$，显然落在定义域区间 $(-1,+\infty )$ 内。 此时：

• 当 $x\in \left(-1,\frac{1}{a}\right)$ 时， $ax<1⟹ax-1<0⟹f^{\prime }(x)<0$，函数单调递减；
• 当 $x\in \left(\frac{1}{a},+\infty \right)$ 时， $ax>1⟹ax-1>0⟹f^{\prime }(x)>0$，函数单调递增。

综上所述：

• 当 $-1\le a\le 0$ 时， $f(x)$ 的单调递减区间为 $(-1,+\infty )$，无单调递增区间；
• 当 $a>0$ 时， $f(x)$ 的单调递减区间为 $\left(-1,\frac{1}{a}\right)$，单调递增区间为 $\left(\frac{1}{a},+\infty \right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：对数函数的定义域约束特征、导数的通化结构化简、基于一元一次方程斜率正负的区间单调性分类判定。
• 核心方法：根值分类讨论法。
• 避坑指南：
• 求导通分后，千万别忽略了大前提定义域 $x\in (-1,+\infty )$。
• 当 $a>0$ 时，求得零点 $\frac{1}{a}$ 后，需要与边界值 $-1$ 进行大小比较。因为 $\frac{1}{a}>0>-1$，所以零点能安全地将定义域切分为两段。
• 不要漏掉对 $-1\le a<0$ 与 $a=0$ 时的负号验证，将它们统一合并讨论使步骤最简。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是导数解答题中考查单调性分类讨论的最标准母题，重点考查代数多项式在开区间内控制符号的严密性。 结论推广: 对于任何形如 $f(x)=ax-b\ln (x+1)$ 构型的单调性分析，其导数分子均为 $ax+(a-b)$。其分类讨论的转折临界点，恒由最高次项系数 $a=0$ 以及零点 $-\frac{a-b}{a}$ 是否落入定义域这一双重边界决定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-21 解-导数单调性含参
• 2009-大纲Ⅱ文-21 解-导数单调与恒成立
• 2010-新课标Ⅰ文-21 解-导数单调与恒成立