2006-山东卷理-15 填-向量法在空间线面角计算中的应用

本题导读

本题考查正三棱柱背景下直线与平面所成角的正弦值计算。核心在于通过建立标准的空间直角坐标系，将复杂的空间投影寻找过程彻底转化为平面的法向量与直线的方向向量之间的数量积坐标运算。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(理)） 如图，已知在正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的所有棱长都相等， $D$ 是 $A_1{C}_1$ 的中点，则直线 $AD$ 与平面 $B_{1}DC$ 所成角的正弦值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

几何特征量设值：由于正三棱柱所有棱长全部相等且求的是角度比值，利用几何常量设值法，设所有棱长均为 2。 构建空间直角坐标系：取底面正三角形 $ABC$ 的边 $AC$ 的中点为 $O$。由正三角形特征知 $BO\perp AC$。由于是直棱柱，侧棱垂直底面。以此中点 $O$ 为原点， $OC$ 轴为 $y$ 轴， $OB$ 轴为 $x$ 轴，过 $O$ 垂直于底面的射线为 $z$ 轴，构建标准空间直角坐标系。 求出核心向量坐标：分别写出点 $A,D,B_1,C$ 的空间三维坐标，进而直接写出直线 $AD$ 的方向向量 $\overrightarrow{AD}$，以及生成平面 $B_{1}DC$ 的两个基底向量坐标。 利用向量法求解线面角：求出平面 $B_{1}DC$ 的法向量 $\vec{n}$。根据线面角正弦值与法向量夹角余弦值的绝对值互为相等的定理，套用公式 $\sin \theta =|\cos ⟨\vec{n},\overrightarrow{AD}⟩|=\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{AD}|}{|\vec{n}||\overrightarrow{AD}|}$ 求解。

✅【答案】

Success

$\frac{4}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

解：设正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的所有棱长均为 2。 取底面正三角形 $ABC$ 边 $AC$ 的中点为 $O$。连接 $OB$，由等边三角形性质得 $OB\perp AC$。 由于是直三棱柱，侧棱与底面垂直。以 $O$ 为坐标原点，射线 $OB$ 为 $x$ 轴正方向，射线 $OC$ 为 $y$ 轴正方向，过 $O$ 且垂直于底面的射线为 $z$ 轴，建立空间直角坐标系 $O-xyz$。

在底面正三角形 $△ABC$ 中，边长为 2，高 $OB=2\times \sin 60^{\circ }=\sqrt{3}$。 由此写出各相关顶点的坐标： $O(0,0,0),C(0,1,0),A(0,-1,0),B(\sqrt{3},0,0)$ 由于侧棱长为 2，对应上底面的各顶点坐标为： $A_1(0,-1,2),C_1(0,1,2),B_1(\sqrt{3},0,2)$ 因为 $D$ 是 $A_1{C}_1$ 的中点，通过中点坐标公式可得： $D(0,0,2)$

接下来写出直线 $AD$ 的方向向量： $\overrightarrow{AD}=D-A=(0-0,0-(-1),2-0)=(0,1,2)$ 计算其模长： $|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{0^2+1^2+2^2}=\sqrt{5}$。

写出确定平面 $B_{1}DC$ 的两个交角向量坐标： $\overrightarrow{CD}=D-C=(0,-1,2)$ $\overrightarrow{C{B}_1}=B_1-C=(\sqrt{3},-1,2)$

设平面 $B_{1}DC$ 的一个空间法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$，则法向量必须垂直于平面内的任何两条不共线直线： $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{CD}=-y+2z=0⟹y=2z\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{C{B}_1}=\sqrt{3}x-y+2z=0\end{array}$ 将 $y=2z$ 代入第二式中： $\sqrt{3}x-2z+2z=0⟹\sqrt{3}x=0⟹x=0$ 令 $z=1$，则由第一式得 $y=2$。 因此，平面 $B_{1}DC$ 的一个法向量可取为： $\vec{n}=(0,2,1)$ 计算法向量的模长： $|\vec{n}|=\sqrt{0^2+2^2+1^2}=\sqrt{5}$。

计算直线的方向向量 $\overrightarrow{AD}$ 与平面法向量 $\vec{n}$ 的数量积： $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AD}=0\times 0+2\times 1+1\times 2=4$

设直线 $AD$ 与平面 $B_{1}DC$ 所成的角为 $\theta$。根据空间向量投影定理，线面角的正弦值等于方向向量与法向量夹角余弦值的绝对值： $\sin \theta =|\cos ⟨\vec{n},\overrightarrow{AD}⟩|=\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{AD}|}{|\vec{n}|\cdot |\overrightarrow{AD}|}=\frac{4}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}=\frac{4}{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：正三棱柱三轴垂直基底的寻找（利用正三角形中线垂直性质）、空间平面法向量方程组的建立与求解、向量法求线面角公式。
• 核心方法：空间直角坐标系向量法。
• 避坑指南：
• 建立坐标系时，切勿盲目以 $A$ 点为原点将 $AB,AC$ 当成直角坐标轴，因为底面是等边三角形，它们之间的夹角是 $60^{\circ }$ 并非 $90^{\circ }$。必须找中点 $O$ 构造出垂直轴。
• 最终公式是 $\sin \theta =\frac{|\vec{n}\cdot \vec{v}|}{|\vec{n}||\vec{v}|}$，注意分子要带绝对值，且结果为正弦值，直接对应最终结果，无需再做任何角度转换。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是立体几何中考查空间线面位置角度计算的经典压轴填空题。侧重考查通过建系将复杂的几何体空间投影（立体找高）转换为纯矩阵和向量点积计算的控制精度。 结论推广: 任何侧棱与底面垂直的多面体，若要求直线与特定割平面的夹角，由于其边界点坐标往往集中于几个平行的平面层上，使用空间直角坐标系法可以在完全不需要画出空间投影点的前提下一枪命中正确答案。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题
• 21.01 空间向量及其运算
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2007-四川文-14 填-正三棱柱线面角
• 2010-四川卷文-15 填-二面角线面角