本题导读
本题考查直线与抛物线相交的交点纵坐标二次和的最值。核心在于通过设立合理的直线方程（采用以纵坐标为因变量的形态），利用韦达定理完成对目标代数式的完全消元，最终借助基本不等式或二次函数求得最小值。
📌【题干】
Question
（2006年山东卷(理)） 已知抛物线 ，过点 的直线与抛物线相交于 ， 两点，则 的最小值是.
🔍【思路分析】
破题导航
设置合理的直线方程：由于直线过 x 轴上的定点 ，且若直线斜率不存在（即垂直于 x 轴）时 ，交点为 ，此时 。若斜率存在，考虑到抛物线关于 x 轴的对称特征，设直线方程为 能够自然避开对斜率不存在的讨论，也便于代入 中。 联立求韦达定理表达式：将 代入 中，整理得到关于 的一元二次方程。写出两根之和 与两根之积 的表达式。 代数变形最值化：将目标式变形为 ，将韦达定理的代数式整体代入，转化为关于参数 的二次型或一元二次函数，求出其全局最小值。
✅【答案】
Success
✍【详细解析】
Abstract
解：由题意，过点 的直线若斜率不存在，其方程为 。 代入抛物线方程 。 此时， 。
若直线的斜率存在且不为 0，由于直线过点 ，可设直线方程为： 将直线方程直接代入抛物线方程 中：
因为该一元二次方程的判别式 恒成立， 所以直线与抛物线恒有两个互异的交点。 根据根与系数的关系（韦达定理），交点 的纵坐标满足：
现在将目标代数式 进行完全平方恒等变形： 将韦达定理的两个关系式代入上式中：
因为对任意实数 ， 恒有 ，所以： 当且仅当 （即直线方程为 ，即斜率不存在的情况）时，等号严格成立。
综上所述， 的最小值为 32。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：过 x 轴定点的直线标准方程设法（ 策略）、直线与抛物线联立的二次方程韦达定理变形、利用偶次幂非负性求全局最值。
- 核心方法：纵坐标一元参数消元法。
- 避坑指南：
- 设直线方程时，若习惯性设成点斜式 ，一定要额外且严密地对斜率不存在的特殊情况 进行独立讨论，否则在解答题中属于严重丢分点（填空题中虽能靠运气算对，但逻辑不完备）。
- 代入化简后是 而非 ，注意在展开多项式时负负得正的符号控制。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源: 本题是解析几何中考查直线与抛物线交点代数最值计算的经典中档填空题，旨在通过减少一维自变量（利用纵坐标消元）来降低代数方程的化简难度。 结论推广: 过抛物线 轴上任意定点 的割线，其截得两端点的纵坐标平方和 的极小值恒为定值 ，且该极小值恒在割线垂直于轴（即 ）的通径对称位置处取得。本题中 ，其最小值即为 。
🔗【关联脉络】
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