2006-山东卷理-11 单-整数规划的网格处理

本题导读

本题考查线性规划的应用。核心在于画出不等式组确定的平面可行域，利用平行直线系平移法锁定使目标函数达到最大的临界顶点，同时需注意职员人数必须为整数这一隐含约束。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(理)） 某公司招收男职员 $x$ 名，女职员 $y$ 名， $x$ 和 $y$ 须满足约束条件 $\{\begin{array}{l}5x-11y\ge -22\\ 2x+3y\ge 9\\ 2x\le 11\end{array}$，则 $z=10x+10y$ 的最大值是()

A. 80　　　　　　　B. 85　　　　　　　C. 90　　　　　　　D. 95

🔍【思路分析】

破题导航

画出可行域：在直角坐标系中，画出三条边界直线 $l_1:5x-11y=-22$， $l_2:2x+3y=9$， $l_3:2x=11⟹x=5.5$。根据不等号方向确定围成的封闭三角形（或多边形）区域。 确定目标函数几何意义：目标函数 $z=10x+10y⟹y=-x+\frac{z}{10}$。这表示一组斜率为 $-1$，截距为 $\frac{z}{10}$ 的平行直线系。当直线向右上方平移时，截距增大， $z$ 值增大。 寻找最值临界点：通过平移可见，最大值必在右侧边界的最高交点处取得。联立 $5x-11y=-22$ 与 $x=\frac{11}{2}$，解出交点坐标，校验是否满足整数性约束并求最值。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：首先画出约束条件确定的平面可行域区域。 边界直线分别为：

• $l_1:5x-11y=-22⟹y=\frac{5}{11}x+2$

• $l_2:2x+3y=9⟹y=-\frac{2}{3}x+3$

• $l_3:x=\frac{11}{2}=5.5$

将目标函数进行变形，转化为直线的斜截式结构： $z=10x+10y⟹y=-x+\frac{z}{10}$ 这表示一组斜率为 $-1$，在 $y$ 轴上的截距为 $\frac{z}{10}$ 的平行直线。要使 $z$ 取得最大值，只需直线向右上方平移时，与可行域有公共点的截距达到最大。

通过观察可行域图象的几何走势，当直线 $y=-x+\frac{z}{10}$ 经过直线 $l_1$ 与 $l_3$ 的交点 $M$ 时，截距最大。 联立两直线方程求解交点 $M$ 的坐标： $\{\begin{array}{l}x=\frac{11}{2}\\ 5x-11y=-22\end{array}⟹5\times \frac{11}{2}-11y=-22⟹\frac{55}{2}+22=11y⟹\frac{99}{2}=11y⟹y=\frac{9}{2}=4.5$ 即理想交点为 $M(5.5,4.5)$。

由于 $x$ 和 $y$ 分别代表招收的男、女职员人数，根据实际生活的物理意义， $x$ 和 $y$ 必须均为非负整数。 由于 $M(5.5,4.5)$ 不是整数点，我们需要在可行域内寻找靠近 $M$ 且使 $z=10(x+y)$ 最大的整数点 $(x,y)$。 考察靠近 $M$ 的边界网格点：

• 若取 $x=5$（满足 $2x\le 11$），代入 $5x-11y\ge -22⟹25-11y\ge -22⟹11y\le 47⟹y\le 4.27$。因为 $y$ 为整数， $y$ 最大可取 $4$。此时整数点为 $(5,4)$，代入目标函数得 $z=10\times 5+10\times 4=90$。
• 重新校验原交点 $M(5.5,4.5)$ 处的理想最大值： $z_{\text{理想}}=10\times 5.5+10\times 4.5=55+45=100$。 考察选项：选项中包含 80, 85, 90, 95。 若取整数点 $(5,4)$ 位于可行域内部，满足所有不等式约束：

1. $5(5)-11(4)=25-44=-19\ge -22$（满足）
2. $2(5)+3(4)=10+12=22\ge 9$（满足）
3. $2(5)=10\le 11$（满足） 此时计算得到的目标值为 $z=10\times 5+10\times 4=90$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：线性规划可行域的几何作图、目标函数平行直线系的平移决策、实际背景下的整数点网格筛选（隐式整数规划）。
• 核心方法：数形结合边界点排查法。
• 避坑指南：
• 很多考生容易在直接求出交点 $M(5.5,4.5)$ 后，由于漏掉“职员人数必须是整数”这一实际常识，直接算得 $55+45=100$，发现选项没有 100 从而陷入惊慌。
• 必须要进行邻近整数格点的严格代入校验，确保所选点 $(5,4)$ 在三角形可行域内部。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查线性规划与生活实际应用相结合的经典压轴选择题。通过隐去“$x,y\in \mathbf{N}$”这一显式代数条件，重点考查思维的全面性与代数模型的健壮性。 结论推广: 针对所有带有实际人数、件数等背景的线性规划问题，其本质均为整数线性规划（ILP）。求解此类问题时，标准步骤为：先求出线性松弛下的有理数最优解顶点，再在该顶点周围的闭域网格内，顺着目标函数等值线递减的方向逆向搜寻第一个落入可行域的整点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 05.02 函数的四大性质
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2007-天津卷理-02 单-简单线性规划最值问题
• 2008-北京卷理-05 单-线性规划
• 2008-天津卷理-02 单-线性规划