2006-山东卷理-10 单-复数的性质

本题导读

本题考查二项式定理通项公式的深度代数应用。创新点在于将复数单位 $\text{i}$ 作为二项式的一部分嵌入分式中，需要考生同时具备扎实的二项式系数控制能力和虚数单位的幂次运算能力。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(理)） 已知 ${\left(x^3-\frac{\text{i}}{\sqrt{x}}\right)}^n$ 的展开式中第三项与第五项的系数之比为 $-\frac{3}{14}$，其中 ${\text{i}}^2=-1$，则展开式中常数项是()

A. $-45\text{i}$　　　　　　B. $45\text{i}$　　　　　　C. $-45$　　　　　　D. $45$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出通项：二项式通项里 $x$ 的指数是 $3(n-r)-\frac{r}{2}$，含 $r$ 的一次式，这就是找常数项的抓手。
2. 用系数比定 $n$：第三项取 $r=2$、第五项取 $r=4$，注意 $(-\mathrm{i}{)}^2=-1$、$(-\mathrm{i}{)}^4=1$，代入组合数之比即可解出 $n$。
3. 令指数为零：把 $n$ 代回指数表达式，解出使 $x$ 的指数为 0 的 $r$，再算该项的系数。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

二项展开式的通项为 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r{\left(x^3\right)}^{n-r}{\left(-\frac{\mathrm{i}}{\sqrt{x}}\right)}^r={\mathrm{C}}_n^r(-\mathrm{i}{)}^r{x}^{3(n-r)-\frac{r}{2}}$

第一步：由系数比求 $n$

第三项对应 $r=2$，系数为 ${\mathrm{C}}_n^2(-\mathrm{i}{)}^2=-{\mathrm{C}}_n^2$；

第五项对应 $r=4$，系数为 ${\mathrm{C}}_n^4(-\mathrm{i}{)}^4={\mathrm{C}}_n^4$。

由题意 $\frac{-{\mathrm{C}}_n^2}{{\mathrm{C}}_n^4}=-\frac{3}{14}⟹\frac{{\mathrm{C}}_n^2}{{\mathrm{C}}_n^4}=\frac{3}{14}$ 而 $\frac{{\mathrm{C}}_n^2}{{\mathrm{C}}_n^4}=\frac{\frac{n(n-1)}{2}}{\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}}=\frac{12}{(n-2)(n-3)}$ 故 $(n-2)(n-3)=56$，即 $n^2-5n-50=0$，结合 $n$ 为正整数得 $n=10$。

第二步：原卷此处 $x^3$ 应为 $x^2$

把 $n=10$ 代入指数 $3(n-r)-\frac{r}{2}=30-\frac{7r}{2}$，要使其为 $0$ 需 $r=\frac{60}{7}$，不是整数——也就是说，按原卷所印的 $x^3$ 展开，根本不存在常数项。

查同源试题，此处第一项应为 $x^2$。按 ${\left(x^2-\frac{\mathrm{i}}{\sqrt{x}}\right)}^{10}$ 计算，通项中 $x$ 的指数为 $2(10-r)-\frac{r}{2}=20-\frac{5r}{2}$ 令其为零得 $r=8$，是整数，此时 $T_9={\mathrm{C}}_{10}^8{\left(x^2\right)}^2{\left(-\frac{\mathrm{i}}{\sqrt{x}}\right)}^8={\mathrm{C}}_{10}^8(-\mathrm{i}{)}^8{x}^4\cdot x^{-4}=45\times 1=45$ 其中 $(-\mathrm{i}{)}^8={\left[(-\mathrm{i}{)}^2\right]}^4=(-1{)}^4=1$。

所以常数项为 $45$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二项展开式系数与二项式系数的区别（本题由于 ${\text{i}}^4=1,{\text{i}}^2=-1$ 影响了正负号）、虚数单位 $\text{i}$ 的高次周期幂律（${\text{i}}^4=1$）。
• 核心方法：通项指数方程法。
• 避坑指南：
• 注意第 3 项对应的是 $r=2$，第 5 项对应的是 $r=4$，切勿直接把项数数字作为组合数的上标。
• 在处理 $(-\text{i}{)}^r$ 时，一定要把负号和虚数单位作为一个整体包裹在括号内进行幂次运算。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查二项式定理的一道创新选择压轴题。其巧妙之处在于将复数单位与代数分式混合，全方位考查考生在多元符号复合环境下的运算稳定性。 结论推广: 针对包含虚数单位的二项式展开问题， 虚数单位 $(-\text{i}{)}^r$ 的正负及实虚特征呈现出以 4 为周期的刚性循环律：分别对应 $-\text{i},-1,\text{i},1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2007-江西卷理-04 单-二项式系数各项系数
• 2007-湖北卷理-01 单-二项展开式通项公式
• 2007-重庆卷理-04 单-二项展开式通项公式