2006-山东卷理-08 单-充分条件与必要条件的判定

本题导读

本题考查一元二次不等式、含绝对值的分式不等式的解法，以及充要条件的逻辑关系判定。核心在于精确化简两个命题对应的解集，利用集合的包含关系得出结论。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(理)） 设 $p:x^2-x-20>0$，$q:\frac{1-x^2}{|x|-2}<0$，则 $p$ 是 $q$ 的()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　　D. 既充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

化简命题 $p$：对二次三项式进行因式分解，求出一元二次不等式的解集 $A$。 化简命题 $q$：对分式不等式进行等价转化。注意到分子 $1-x^2=1-|x{|}^2$，可令 $t=|x|$ 将不等式转化为关于 $t$ 的分式不等式，求出 $t$ 的范围后再还原为 $x$ 的解集 $B$。 逻辑判定：比较解集 $A$ 与 $B$ 的包含关系。若 $A⊊B$，则 $p$ 是 $g$ 的充分不必要条件；若 $B⊊A$，则 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：首先化简命题 $p$ 对应的解集 $A$： 由 $x^2-x-20>0$，因式分解得： $(x-5)(x+4)>0⟹x>5\text{或}x<-4$ 即 $A=\{x\mid x>5\text{ 或 }x<-4\}$。

接下来化简命题 $q$ 对应的解集 $B$： 由于 $x^2=|x{|}^2$，不等式 $\frac{1-x^2}{|x|-2}<0$ 可变形为： $\frac{1-|x{|}^2}{|x|-2}<0⟹\frac{|x{|}^2-1}{|x|-2}>0$ 令 $t=|x|$（且 $t\ge 0$），则不等式等价于： $\frac{t^2-1}{t-2}>0⟹\frac{(t-1)(t+1)}{t-2}>0$ 因为 $t\ge 0⟹t+1\ge 1>0$，两边同除以 $(t+1)$ 保持不等号方向不变： $\frac{t-1}{t-2}>0⟹(t-1)(t-2)>0$ 解得 $t>2$ 或 $t<1$。 结合 $t=|x|\ge 0$，可得：

1. 当 $|x|>2$ 时，解得 $x>2$ 或 $x<-2$；
2. 当 $0\le |x|<1$ 时，解得 $-1<x<1$。 故 $B=\{x\mid x>2\text{ 或 }-1<x<1\text{ 或 }x<-2\}$。

比较集合 $A$ 与集合 $B$： 显然，当 $x>5$ 时必有 $x>2$；当 $x<-4$ 时必有 $x<-2$。 这表明集合 $A$ 中的任意一个元素都属于集合 $B$，即 $A⊊B$。 因此，由 $p$ 可以推出 $q$，但由 $q$ 不能推出 $p$。 所以 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：绝对值性质代换（$x^2=|x{|}^2$）、分式不等式同号/异号转化规则、充分必要条件的集合包含判定法。
• 核心方法：变量换元法、集合包含判定法。
• 避坑指南：
• 化简命题 $q$ 时容易忽略分母不能为零的限制（$|x|\ne 2$），采用高次不等式穿根法或换元法可以自然规避此失误。
• 必须牢记逻辑命题与集合包含的对应关系：小集合推大集合。由于 $A$ 是 $B$ 的真子集，所以 $A$ 成立空间窄、条件高，属于充分条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查初等代数不等式求解与常用逻辑用语判定相结合的经典中档选择题。侧重考查绝对值符号解构的完备性。 结论推广: 针对任何关于 $|x|$ 的有理分式不等式，通过设 $t=|x|$ 转化降维为标准一元多项式不等式，可以使区间边界的排查逻辑达到最高清晰度。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2007-天津文-03 单-充要条件判定
• 2007-湖北文-09 单-充要条件与不等式
• 2007-重庆文-05 单-充要条件等价判定