2006-山东卷理-07 单-椭圆的第二定义

本题导读

本题考查椭圆的核心几何特征参数计算。关键在于熟练掌握椭圆中垂直于长轴的焦点弦（通径）的代数表达式，并结合焦点到准线的距离公式建立关于基本量 $a,b,c$ 的方程组求解离心率。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(理)） 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 $\sqrt{2}$，焦点到相应准线的距离为 1，则该椭圆的离心率为()

A. $\sqrt{2}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{2}}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

分析通径长条件：在标准椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦被称为通径，其长度通用公式为 $\frac{2b^2}{a}$。根据题意建立方程： $\frac{2b^2}{a}=\sqrt{2}$。 分析焦点到准线距离条件：设焦点为 $(c,0)$，对应的同侧准线方程为 $x=\frac{a^2}{c}$。则焦点到相应准线的距离为 $\frac{a^2}{c}-c=\frac{a^2-c^2}{c}=\frac{b^2}{c}$。根据题意建立方程： $\frac{b^2}{c}=1⟹b^2=c$。 联立方程求解离心率：将 $b^2=c$ 代入通径公式，利用椭圆中基本量平方差关系 $b^2=a^2-c^2$ 或直接利用离心率定义 $e=\frac{c}{a}$ 统一消元，求出 $e$ 的值。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：不妨设椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$)。 根据椭圆的几何性质：

1. 过焦点且垂直于对角长轴的弦（即通径）的长度为： $L=\frac{2b^2}{a}=\sqrt{2}\text{(1)}$

2. 焦点 $F(c,0)$ 到其相应同侧准线 $x=\frac{a^2}{c}$ 的距离为： $d=\frac{a^2}{c}-c=\frac{a^2-c^2}{c}$ 由于椭圆中满足恒等式 $a^2-c^2=b^2$，代入上式简化可得： $d=\frac{b^2}{c}=1⟹b^2=c\text{(2)}$

将 ② 式 $b^2=c$ 直接代入 ① 式中以消去参数 $b$： $\frac{2c}{a}=\sqrt{2}⟹\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

根据椭圆离心率的底层定义式 $e=\frac{c}{a}$，可以直接得出： $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：椭圆通径长公式 $\frac{2b^2}{a}$、焦点到同侧准线距离公式 $\frac{b^2}{c}$、离心率定义。
• 核心方法：公式系数直接对照消元法。
• 避坑指南：
• 很多考生容易把焦点到准线的距离记错为中心到准线的距离 $\frac{a^2}{c}$，或者是把双曲线和椭圆的公式记混，必须注意是焦点到相应准线，距离应减去 $c$，即为 $\frac{b^2}{c}$。
• 本题的代数设计极其精巧，代入后直接出现了 $\frac{c}{a}$ 这一整体结构，切勿盲目去把 $a,b,c$ 每个字样的具体具体数值单独解出来，整体代换效率最高。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是圆锥曲线中考查椭圆核心几何定义与参数计算的传统基础题，旨在考查对通径及准线第二定义代数构型的熟练记忆与组合变形能力。 结论推广: 在任意椭圆中， 其通径长 $L$ 与焦点到相应准线距离 $d$ 的比值， 恒等于离心率 $e$ 的 2 倍。即恒满足关系式： $\frac{L}{d}=2e$。本题中 $\frac{\sqrt{2}}{1}=2e⟹e=\frac{\sqrt{2}}{2}$，利用此推广结论可一秒直接出出正确答案。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2007-湖南文-09 单-椭圆准线距离定离心率
• 2007-大纲Ⅱ文-11 单-椭圆离心率
• 2008-天津文-07 单-椭圆方程与离心率