2006-山东卷理-04 单-解三角形

本题导读

本题考查解三角形的基本方法，已知两边及其中一边的对角，利用余弦定理建立关于第三边的二次方程即可直接求解。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(理)） 在 $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，已知 $A=\frac{\pi }{3}$， $a=\sqrt{3}$， $b=1$，则 $c=$()

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. $\sqrt{3}-1$　　　　　　　D. $\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

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观察已知条件，给出了角 $A$ 以及边 $a,b$，要求边 $c$。 选用包含已知量最多的余弦定理公式： $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$。 将具体数值代入公式，转化为关于 $c$ 的一元二次方程，求解并根据三角形边长的实际意义进行取舍。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：由余弦定理得： $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 将已知数据 $A=\frac{\pi }{3}$， $a=\sqrt{3}$， $b=1$ 代入上式中： $(\sqrt{3}{)}^2=1^2+c^2-2\times 1\times c\times \cos \frac{\pi }{3}$ $3=1+c^2-2c\times \frac{1}{2}$ $3=1+c^2-c$ 移项整理得关于 $c$ 的一元二次方程： $c^2-c-2=0$ 因式分解得： $(c-2)(c+1)=0$ 解得： $c=2\text{或}c=-1$ 因为三角形的边长必须为正数，故 $c=-1$ 舍去。 所以 $c=2$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：余弦定理标准公式的应用、一元二次方程的因式分解。
• 核心方法：余弦定理方程法。
• 避坑指南：本题也可以用正弦定理求出角 $B$，进而得到角 $C$ 来求边 $c$，但由于已知角 $A$ 是大边 $a$ 的对角，直接用余弦定理列出关于 $c$ 的方程最不容易出错，运算量也最小。解出方程后切记根据几何边长为正的实际物理意义将负根舍去。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是解三角形章节中最标准、最基础的常规选择题，直接考查余弦定理的公式记忆与初等方程计算。 结论推广: 在 $△ABC$ 中，若 $A=60^{\circ }$，其三边长必满足代数式 $a^2=b^2+c^2-bc$。若 $b=1,c=2$，对应的三边即构成典型的满足直角特征的特殊三角形（此时 $△ABC$ 实际为以 $C$ 为直角的直角三角形）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 11.03 解三角形与解的个数判定

类题演练 (Links)

• 2008-安徽文-05 单-余弦定理求角
• 2008-福建文-08 单-余弦定理求角
• 2010-湖南卷文-07 单-余弦定理比边