2006-山东卷理-01 单-集合元素的互异性

本题导读

本题考查集合的新定义运算，核心在于穷举所有可能的元素组合并根据集合元素的互异性进行去重求和。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(理)） 定义集合运算： $A\odot B=\{z\mid z=xy(x+y),x\in A,y\in B\}$，设集合 $A=\{0,1\}$， $B=\{2,3\}$，则集合 $A\odot B$ 的所有元素之和为()

A. 0　　　　　　　B. 6　　　　　　　C. 12　　　　　　　D. 18

🔍【思路分析】

破题导航

依次从集合 $A$ 中取 $x$（可取 $0,1$），从集合 $B$ 中取 $y$（可取 $2,3$），共 4 种组合。 将每组 $(x,y)$ 代入运算式 $z=xy(x+y)$ 计算对应的 $z$ 值。 利用集合中元素的互异性去掉重复的数值，最后将集合中的所有非重复元素相加。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：根据新定义运算，分别将 $x\in A$ 与 $y\in B$ 的所有可能情况穷举如下：

• 当 $x=0,y=2$ 时： $z=0\times 2\times (0+2)=0$；
• 当 $x=0,y=3$ 时： $z=0\times 3\times (0+3)=0$；
• 当 $x=1,y=2$ 时： $z=1\times 2\times (1+2)=6$；
• 当 $x=1,y=3$ 时： $z=1\times 3\times (1+3)=12$。

根据集合中元素的互异性，重复出现的元素 $0$ 只能算作一个。 由此可得集合 $A\odot B$ 为： $A\odot B=\{0,6,12\}$

计算集合中所有元素之和： $\text{元素之和}=0+6+12=18$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：集合新定义运算法则、集合元素的互异性特征。
• 核心方法：元素穷举法。
• 避坑指南：求和时一定要注意去重，由于 $x=0$ 贡献了两个 $0$，在写成集合时只能保留一个 $0$，若不注意互异性直接把 4 次计算结果强行相加，虽不影响本题最终数值结果，但在其他题目中极易出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是典型的集合创新定义小题，通常作为高考卷的开篇第一题，旨在考查对数学新概念的现场学习与准确执行能力。 结论推广: 设有限集 $A$ 的元素个数为 $m$， $B$ 的元素个数为 $n$，则新定义生成的集合 $A\odot B$ 的元素个数不超过 $m\times n$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2008-江西文-02 单-集合新定义运算
• 2009-山东卷文-05 单-新定义运算