2006-山东文-22 解-递推数列等差存在

本题导读

本题考查数列的递推关系。核心在于构造辅助数列加等差反证。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=\frac{1}{2}$，点 $(n,2a_{n+1}-a_n)$ 在直线 $y=x$ 上，其中 $n=1,2,3,\cdots$。 （1）令 $b_n=a_{n+1}-a_n-1$，求证数列 $\{b_n\}$ 是等比数列； （2）求数列 $\{a_n\}$ 的通项； （3）设 $S_n$、$T_n$ 分别为数列 $\{a_n\}$、$\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和。是否存在实数 $\lambda$，使得数列 $\left\{\frac{S_n+\lambda T_n}{n}\right\}$ 为等差数列？若存在，试求出 $\lambda$；若不存在，则说明理由。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 递推 $2a_{n+1}-a_n=n$ 即 $a_{n+1}=\frac{a_n+n}{2}$；$b_n=a_{n+1}-a_n-1=(n-1)-a_{n+1}$，代入得 $b_{n+1}=\frac{b_n}{2}$；$a_2=\frac{1+1}{2}=\frac{3}{4}$，$b_1=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}-1=-\frac{3}{4}$。
2. $a_{n+1}-a_n=1+b_n=1-\frac{3}{2^{n+1}}$，累加得 $a_n=\frac{1}{2}+(n-1)-\frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)=n-2+\frac{3}{2^n}$。
3. $S_n=\frac{n(n-3)}{2}+3-\frac{3}{2^n}$，$T_n=-\frac{3}{2}+\frac{3}{2^{n+1}}$；$\lambda =2$ 时 $U_n=n-\frac{3}{2}$ 等差；$\lambda \ne 2$ 时 $g_1=\frac{1}{2},g_2=\frac{3}{8},g_3=\frac{7}{24}$ 差不等，反证排除。

✅【答案】

Success

(1)$\{b_n\}$ 是首项 $-\frac{3}{4}$、公比 $\frac{1}{2}$ 的等比数列

(2)$a_n=n-2+\frac{3}{2^n}$

(3)存在 $\lambda =2$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由题意，$2a_{n+1}-a_n=n$，所以 $a_{n+1}=\frac{a_n+n}{2}$。 又 $b_n=a_{n+1}-a_n-1=\frac{a_n+n}{2}-a_n-1=\frac{n-a_n-2}{2}=(n-1)-a_{n+1}$。 因此 $b_{n+1}=n-a_{n+2}=n-a_{n+1}-\frac{n+1-a_{n+1}}{2}=\frac{n-1-a_{n+1}}{2}=\frac{b_n}{2}$。 由 $a_2=\frac{a_1+1}{2}=\frac{3}{4}$，得 $b_1=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}-1=-\frac{3}{4}$。 所以 $\{b_n\}$ 是等比数列，首项为 $-\frac{3}{4}$，公比为 $\frac{1}{2}$。

（2）由 $b_n=a_{n+1}-a_n-1$，得 $a_{n+1}-a_n=1+b_n=1-\frac{3}{2^{n+1}}$。 当 $n⩾2$ 时，累加上式得 $a_n=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}\left(1-\frac{3}{2^{k+1}}\right)=\frac{1}{2}+n-1-\frac{3}{4}\sum _{k=1}^{n-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{k-1}$。 其中 $\sum _{k=1}^{n-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{k-1}=\frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}}{1-\frac{1}{2}}=2\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)$。 于是 $a_n=n-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)=n-2+\frac{3}{2^n}$。 当 $n=1$ 时，上式也成立，故 $a_n=n-2+\frac{3}{2^n}$。

（3）由通项公式，$S_n=\sum _{k=1}^n\left(k-2+\frac{3}{2^k}\right)=\frac{n(n-3)}{2}+3-\frac{3}{2^n}$，$T_n=\sum _{k=1}^n\left(-\frac{3}{2^{k+1}}\right)=-\frac{3}{2}+\frac{3}{2^{n+1}}$。 设 $U_n=\frac{S_n+\lambda T_n}{n}$，则 $U_n=\frac{n-3}{2}+\frac{3\left(1-\frac{\lambda }{2}\right)-\frac{3(1-\lambda )}{2^n}}{n}$。 当 $\lambda =2$ 时，$U_n=n-\frac{3}{2}$，为等差数列。 若 $\lambda \ne 2$，则需判断 $g_n=\frac{1-2^{-n}}{n}$ 是否为等差数列。 但 $g_1=\frac{1}{2}$，$g_2=\frac{3}{8}$，$g_3=\frac{7}{24}$，有 $g_2-g_1=-\frac{1}{8}\ne -\frac{1}{12}=g_3-g_2$， 所以 $\{g_n\}$ 不是等差数列。因而只能取 $\lambda =2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：递推数列等差存在

核心方法：构造辅助数列加等差反证

避坑指南：$b_n=a_{n+1}-a_n-1=(n-1)-a_{n+1}$，代入递推得 $b_{n+1}=\frac{b_n}{2}$，$b_1=-\frac{3}{4}$；累加得 $a_n=n-2+\frac{3}{2^n}$；$U_n=\frac{S_n+\lambda T_n}{n}$，$\lambda =2$ 时等差，$\lambda \ne 2$ 用 $g_n=\frac{1-2^{-n}}{n}$ 前三项差不等反证

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自递推数列构造与等差存在性，压轴数列题

结论推广: $b_n=a_{n+1}-a_n-1$ 辅助数列推广到分式/常数型递推

方法推广: “是否存在”参数用前三项差先探路再反证

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2008-天津文-20 解-递推数列等差等比
• 2008-安徽文-21 解-递推数列三问