2006-山东文-14 填-等差数列片段和

本题导读

本题考查等差数列的前 n 项和，以及等差数列的性质。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(文)） 设 $S_n$ 为等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，$S_4=14$，$S_{10}-S_7=30$，则 $S_9=$ $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. $S_{10}-S_7=a_8+a_9+a_{10}=3a_9=30$，故 $a_9=10$，即 $a_1+8d=10$。
2. $S_4=4a_1+6d=14$，即 $2a_1+3d=7$。
3. 联立解得 $a_1=2$，$d=1$；$S_9=\frac{9}{2}(2a_1+8d)=\frac{9}{2}(4+8)=54$。

✅【答案】

Success

$54$

✍【详细解析】

Abstract

设等差数列的首项为 $a_1$，公差为 $d$。 由 $S_4=14$ 得 $4a_1+6d=14$，即 $2a_1+3d=7$。 又 $S_{10}-S_7=a_8+a_9+a_{10}=30$，而 $a_8+a_{10}=2a_9$，所以 $3a_9=30$，即 $a_1+8d=10$。 联立解得 $a_1=2$，$d=1$。因此 $S_9=\frac{9}{2}(2a_1+8d)=\frac{9}{2}(4+8)=54$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列片段和

核心方法：片段和化中项

避坑指南：$S_{10}-S_7=a_8+a_9+a_{10}=3a_9=30\Rightarrow a_9=10$；$S_4=4a_1+6d$ 即 $2a_1+3d=7$；联立 $a_1=2,d=1$，$S_9=54$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自等差数列片段和，基本量题

结论推广: $S_{10}-S_7=3a_9$ 推广到任意等长片段和

方法推广: 片段和化中项是等差核心性质

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-天津文-04 单-等差数列基本量
• 2008-广东文-04 单-等差数列前n和定公差