2006-山东文-12 单-整数线性规划

本题导读

本题考查线性规划，以及整数点最优解。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(文)） 已知 $x$ 和 $y$ 是正整数，且满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y⩽10,\\ x-y⩽2,\\ 2x⩾7,\end{array}$ 则 $z=2x+3y$ 的最小值是 ()

A. $24$　　　　　　B. $14$　　　　　　C. $13$　　　　　　D. $11.5$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x$、$y$ 为正整数且 $2x⩾7$，故 $x⩾4$。
2. $x=4$ 时由 $x-y⩽2$ 得 $y⩾2$，$z=8+3y⩾14$，且 $(4,2)$ 满足全部约束。
3. $x⩾5$ 时 $y⩾x-2$，$z⩾2x+3(x-2)=5x-6⩾19>14$。故最小值 $14$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

因为 $x$、$y$ 是正整数，且 $2x⩾7$，所以 $x⩾4$。 当 $x=4$ 时，由 $x-y⩽2$ 得 $y⩾2$，此时 $z=2x+3y⩾8+6=14$，且 $(x,y)=(4,2)$ 满足全部约束条件。 当 $x⩾5$ 时，由 $x-y⩽2$ 得 $y⩾x-2$，所以 $z⩾2x+3(x-2)=5x-6⩾19>14$。 因此 $z$ 的最小值为 $14$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：整数线性规划

核心方法：整数点逐段验证

避坑指南：$2x⩾7$ 且整数 $\Rightarrow x⩾4$；$x=4$ 时 $y⩾2$，$z⩾8+6=14$；$x⩾5$ 时 $z⩾5x-6⩾19$；整数约束下顶点未必可取

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自整数线性规划，离散最值题

结论推广: 整数点逐段验证推广到一切整数规划

方法推广: 整数约束下先定 $x$ 的最小整数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2008-北京文-06 单-线性规划最小值
• 2008-大纲Ⅱ文-06 单-线性规划最小值