2006-山东文-11 单-集合取数构坐标点

本题导读

本题考查排列与组合，以及分类计数。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(文)） 已知集合 $A=\{5\}$，$B=\{1,2\}$，$C=\{1,3,4\}$，从这三个集合各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为 ()

A. $33$　　　　　　　B. $34$　　　　　　　C. $35$　　　　　　　D. $36$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $A$ 只能取 $5$。$B$ 取 $1$ 或 $2$、$C$ 取 $1,3,4$：若取出的 $b\ne c$，三数互异，排列 $3!=6$ 点。
2. $b\ne c$ 的取法：$b=1$ 时 $c$ 取 $3,4$（2 种）；$b=2$ 时 $c$ 取 $1,3,4$（3 种），共 $2+3=5$ 种，得 $5\times 6=30$ 点。
3. $b=c=1$ 时三数为 $5,1,1$，排列只能 $3$ 点。合计 $33$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

从 $A$，$B$，$C$ 中各取一个数时，若从 $B$ 和 $C$ 中取出的数不同，则三个数 $5,b,c$ 互不相同。 这种情形有 $(1\times 2)+(1\times 3)=5$ 种取法，每种取法把三个数排列到三个坐标位置可得到 $3!=6$ 个不同点，共 $5\times 6=30$ 个。 若从 $B$ 和 $C$ 中都取出 $1$，则三个数为 $5,1,1$，排列到三个坐标位置只能得到 $3$ 个不同点。 因此不同点共有 $30+3=33$ 个，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合取数构坐标点

核心方法：分类去重计点

避坑指南：$b\ne c$：$2\times 2+1\times 3=5$ 组取数 $\times 3!=30$ 点；$b=c=1$：三个数 $5,1,1$ 只排 $3$ 点；共 $33$；相同数排列要除重

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自集合取数与排列组合，分类计数题

结论推广: “含重复元素排列”推广到坐标点计数

方法推广: 重数分类：全异 $3!$、有重除重

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2008-天津文-16 填-卡片排列计数
• 2008-大纲Ⅰ文-12 单-方格计数