2006-山东文-09 单-充分必要条件

本题导读

本题考查充分条件与必要条件，以及含绝对值的不等式。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(文)） 设 $p$：$x^2-x-2<0$，$q$：$\frac{1+x}{|x|}-2<0$，则 $p$ 是 $q$ 的 ()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. $p$：$(x-2)(x+1)<0$，解集 $(-1,2)$。
2. $q$：$\frac{1+x}{|x|}<2$。$x<-2$ 时左端分子负、分母正，成立；$-2<x<-1$ 时分子分母均负，不成立；$-1<x<2$ 时分子正、分母正但小于 $2$，成立；$x>2$ 时不成立。$x=\pm 2$ 不在定义域。
3. $q$ 解集 $(-\infty ,-2)\cup (-1,2)$，$p⊊q$，故 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

由 $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$，得 $p$ 的解集为 $(-1,2)$。 对 $q$：$x<-2$ 时分子为负、分母为正，$q$ 成立；$-2<x<-1$ 时分子和分母均为负，$q$ 不成立； $-1<x<2$ 时分子为正、分母为正且 $1+x<|x|$，$q$ 成立；$x>2$ 时分子和分母均为正但 $1+x>|x|$，$q$ 不成立。 注意 $x=\pm 2$ 不在定义域内，所以 $q$ 的解集为 $(-\infty ,-2)\cup (-1,2)$。 因此 $p$ 的解集是 $q$ 解集的真子集，$p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：充分必要条件

核心方法：解集包含定关系

避坑指南：$p$：$(-1,2)$；$q$：$(-\infty ,-2)\cup (-1,2)$（$x=\pm 2$ 无意义）；$p⊊q$ 故充分不必要；定义域挖点别漏

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自含参不等式与充要条件，解集交叉题

结论推广: 解集包含关系定条件关系推广到一切命题判断

方法推广: 分式定义域挖点是本题题眼

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2008-重庆文-02 单-充分不必要条件
• 2009-浙江卷文-02 单-充分必要条件