2006-山东文-07 单-双曲线通径准线

本题导读

本题考查双曲线的离心率，以及通径。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(文)） 在给定双曲线中，过焦点且垂直于实轴的弦长为 $\sqrt{2}$，焦点到相应准线的距离为 $\frac{1}{2}$，则该双曲线的离心率为 ()

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　　D. $2\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

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1. 通径长 $=2\times \frac{b^2}{a}=\sqrt{2}$，即 $\frac{b^2}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
2. 焦点到相应准线距离 $=c-\frac{a^2}{c}=\frac{b^2}{c}=\frac{1}{2}$。
3. 两式相除：$e=\frac{c}{a}=\frac{b^2/a}{b^2/c}=\frac{\sqrt{2}/2}{1/2}=\sqrt{2}$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

过右焦点且垂直于实轴的弦在 $x=c$ 处，其两个端点的纵坐标满足 $y=\pm \frac{b^2}{a}$， 故弦长为 $\frac{2b^2}{a}=\sqrt{2}$，即 $\frac{b^2}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 双曲线右准线为 $x=\frac{a^2}{c}$，所以右焦点到该准线的距离为 $c-\frac{a^2}{c}=\frac{b^2}{c}=\frac{1}{2}$。 两式相除得 $e=\frac{c}{a}=\frac{b^2/a}{b^2/c}=\frac{\sqrt{2}/2}{1/2}=\sqrt{2}$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线通径准线

核心方法：通径与准线距作比

避坑指南：$\frac{2b^2}{a}=\sqrt{2}\Rightarrow \frac{b^2}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；$c-\frac{a^2}{c}=\frac{b^2}{c}=\frac{1}{2}$；$e=\frac{c}{a}=\frac{b^2/a}{b^2/c}=\sqrt{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自双曲线通径与准线，焦参数综合题

结论推广: $e=\frac{b^2/a}{b^2/c}$ 作比技巧推广到椭圆

方法推广: 通径 $\frac{2b^2}{a}$ 与准线距 $\frac{b^2}{c}$ 都是 $e$ 的载体

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-11 单-双曲线焦点三角形离心率
• 2008-安徽文-14 填-双曲线离心率