2006-山东文-05 单-抽象函数周期求值

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及函数的周期性。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(文)） 已知定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数 $f(x)$ 满足 $f(x+2)=-f(x)$，则 $f(6)$ 的值为 ()

A. $-1$　　　　　　　B. $0$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 奇函数在 $\mathbf{R}$ 上有定义：$f(0)=0$。
2. $f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)=-f(0)=0$（连用两次条件）。
3. 也可由 $f(x+4)=f(x)$ 知周期为 $4$，$f(6)=f(2)$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由于 $f$ 是奇函数，所以 $f(0)=0$。 由 $f(x+2)=-f(x)$ 依次得到 $f(6)=-f(4)=f(2)=-f(0)=0$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抽象函数周期求值

核心方法：迭代递推化到 f(0)

避坑指南：$f(x+2)=-f(x)$ 即周期 $4$：$f(6)=f(2)=-f(0)=0$；奇函数 $f(0)=0$ 是最后一环

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自抽象函数奇偶周期综合，经典求值题

结论推广: $f(x+2)=-f(x)$ 化周期 $4$ 推广到 $f(x+T)=-f(x)$ 型

方法推广: 先定周期再迭代到已知点

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-四川文-09 单-抽象函数周期求值
• 2008-大纲Ⅰ文-06 单-三角奇偶周期