2006-山东文-04 单-向量首尾封闭求和

本题导读

本题考查平面向量的线性运算，以及向量加法的几何意义。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(文)） 设向量 $\vec{a}=(1,-3)$，$\vec{b}=(-2,4)$，若表示向量 $4\vec{a}$，$3\vec{b}-2\vec{a}$，$\vec{c}$ 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量 $\vec{c}$ 为 ()

A. $(1,-1)$　　　　B. $(-1,1)$　　　　C. $(-4,6)$　　　　D. $(4,-6)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 三条有向线段首尾相接构成封闭图形，向量和为零向量。
2. $4\vec{a}=(4,-12)$，$3\vec{b}-2\vec{a}=(-6,12)-(2,-6)=(-8,18)$。
3. $\vec{c}=-(4\vec{a})-(3\vec{b}-2\vec{a})=-(4-8,-12+18)=(4,-6)$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

由题意，三条有向线段首尾相接构成三角形，所以三条向量之和为零向量。 先计算 $4\vec{a}=(4,-12)$，以及 $3\vec{b}-2\vec{a}=3(-2,4)-2(1,-3)=(-8,18)$。 因此 $\vec{c}=-4\vec{a}-(3\vec{b}-2\vec{a})=-(4-8,-12+18)=(4,-6)$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量加法几何意义里的封闭性——几条有向线段首尾相接围成封闭图形，它们的和为零向量。
2. 核心方法：先算已知的两条向量（$4\vec{a}=(4,-12)$、$3\vec{b}-2\vec{a}=(-8,18)$），封口那条取相反数：$\vec{c}=-\left[(4,-12)+(-8,18)\right]=(4,-6)$。
3. 避坑指南：两个坑。一是符号——封口向量的方向是”把缺口补上”，取的是总和的相反数，漏掉负号会选到 $(-4,6)$；二是概念——“首尾相接”才有 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$，若三条只共起点（如平行四边形法则那样），和就不是零而是第四条边。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：向量加法的三角形法则讲”首尾相接、起点连终点”，把这条法则连续用下去，就得到多边形法则：$\overrightarrow{A_1{A}_2}+\overrightarrow{A_2{A}_3}+\cdots +\overrightarrow{A_n{A}_1}=\vec{0}$。本题正是把这条法则反过来用——已知总和为零，求缺的那一条。
2. 结论推广：封闭性是向量加法的结构性质，与坐标无关。它有三层用途：其一，判断几条向量能否围成封闭图形；其二，求封口向量（本题）；其三，在空间或平面上拆解路径时把一长串折线一次消成零，例如 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\vec{0}$。
3. 方法推广：坐标形式下”封闭”等价于横、纵两个分量分别求和为零，这把它变成了两个独立的实数方程——这也是本题能一步列出 $\vec{c}$ 的原因。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2008-四川文-03 单-向量坐标线性运算
• 2008-大纲Ⅰ文-05 单-向量定比分点