2006-山东文-03 单-反函数图象识别

本题导读

本题考查反函数，以及对数函数的图象。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(文)） 函数 $y=1+a^x$（$0<a<1$）的反函数的图象大致是 ()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $y=1+a^x$ 得 $x={\log }_a(y-1)$，反函数 $y={\log }_a(x-1)$，定义域 $x>1$。
2. $0<a<1$ 时 ${\log }_a$ 递减；令 $y=0$ 得 $x=2$，图象过 $(2,0)$；竖直渐近线 $x=1$。
3. 三个特征同时满足的只有 A。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=1+a^x$ 得 $x={\log }_a(y-1)$，所以反函数为 $y={\log }_a(x-1)$，定义域为 $x>1$。 因为 $0<a<1$，反函数图象单调递减，且有竖直渐近线 $x=1$； 令 $y=0$，得 $x=2$，图象经过 $(2,0)$。 只有选项 A 的图象同时满足”递减、过 $(2,0)$、渐近线 $x=1$“，选 A。 （B 递减但无 $x=1$ 渐近线且零点位置不同；C、D 递增，直接排除。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数图象识别

核心方法：定三要素选图

避坑指南：反函数 $y={\log }_a(x-1)$（$0<a<1$）：递减、过 $(2,0)$、竖直渐近线 $x=1$；三特征同时满足只有 A

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自指数对数反函数图象，图象辨识题

结论推广: “三要素定图”推广到一切函数图象选择

方法推广: 递减、特殊点、渐近线三管齐下

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2008-四川文-02 单-对数型反函数
• 2008-大纲Ⅰ文-08 单-反函数