2006-安徽卷理-21 解-数列递推关系求和

本题导读

本题考查数列递推关系的化简与求和。第(1)问核心在于用 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 把递推式化为 $S_n$ 与 $S_{n-1}$ 的齐次关系，构造等差数列求 $S_n$；第(2)问对 $b_n=n{p}^n$ 用错位相减法分 $p\ne 1$ 与 $p=1$ 讨论。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(理)） 数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，已知 $a_1=\frac{1}{2}$，$S_n=n^2{a}_n-n(n-1)$，$n=1,2,\cdots$.

(1) 写出 $S_n$ 与 $S_{n-1}$ 的递推关系式（$n\ge 2$），并求 $S_n$ 关于 $n$ 的表达式；

(2) 设 $f_n(x)=\frac{S_n}{n}{x}^{n+1}$，$b_n=f_n^{\prime }(p)$（$p\in \mathbf{R}$），求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 消元：$n\ge 2$ 时 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 代入原式，整理出 $\frac{n+1}{n}{S}_n=\frac{n}{n-1}{S}_{n-1}+1$；令 $U_n=\frac{n+1}{n}{S}_n$，则 $\{U_n\}$ 是等差数列。 (2) 先求 $b_n$：$f_n(x)=\frac{n}{n+1}{x}^{n+1}$，求导得 $b_n=n{p}^n$；用错位相减法求 $\sum n{p}^n$，注意 $p=1$ 单独讨论。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{n+1}{n}{S}_n=\frac{n}{n-1}{S}_{n-1}+1$（$n\ge 2$）；$S_n=\frac{n^2}{n+1}$

(2) $T_n=\{\begin{array}{ll}\frac{p-(n+1)p^{n+1}+n{p}^{n+2}}{(1-p{)}^2},& p\ne 1,\\ & \\ \frac{n(n+1)}{2},& p=1.\end{array}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当 $n\ge 2$ 时，$a_n=S_n-S_{n-1}$，代入 $S_n=n^2{a}_n-n(n-1)$： $S_n=n^2(S_n-S_{n-1})-n(n-1),$ 整理得 $n^2{S}_{n-1}=(n^2-1)S_n-n(n-1)$，两边除以 $n(n-1)$： $\frac{n+1}{n}{S}_n=\frac{n}{n-1}{S}_{n-1}+1.(\ast )$ 令 $U_n=\frac{n+1}{n}{S}_n$，则 $(\ast )$ 即 $U_n=U_{n-1}+1$，故 $\{U_n\}$ 是首项 $U_1=\frac{2}{1}{S}_1=2S_1=1$、公差为 $1$ 的等差数列，$U_n=1+(n-1)=n$。 所以 $S_n=\frac{n}{n+1}\cdot n=\frac{n^2}{n+1}$.

(2) $f_n(x)=\frac{S_n}{n}{x}^{n+1}=\frac{n}{n+1}{x}^{n+1}$，故 $b_n=f_n^{\prime }(p)=n{p}^n$。 当 $p\ne 1$ 时，用错位相减法： $T_n=1\cdot p+2\cdot p^2+\cdots +n\cdot p^n,$ $p{T}_n=1\cdot p^2+2\cdot p^3+\cdots +n\cdot p^{n+1},$ 两式相减：$(1-p)T_n=p+p^2+\cdots +p^n-n{p}^{n+1}=\frac{p(1-p^n)}{1-p}-n{p}^{n+1}$， $T_n=\frac{p-(n+1)p^{n+1}+n{p}^{n+2}}{(1-p{)}^2}.$ 当 $p=1$ 时，$T_n=1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$. 综上，$T_n=\{\begin{array}{ll}\frac{p-(n+1)p^{n+1}+n{p}^{n+2}}{(1-p{)}^2},& p\ne 1,\\ \frac{n(n+1)}{2},& p=1.\end{array}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：$S_n$ 与 $a_n$ 的互化、构造等差数列、错位相减法。
• 核心方法：令 $U_n=\frac{n+1}{n}{S}_n$ 把递推变成 $U_n=U_{n-1}+1$。
• 避坑指南：$n\ge 2$ 才能用 $a_n=S_n-S_{n-1}$，$n=1$ 单独验证；错位相减后 $(1-p)T_n$ 的首项是 $p$、末项是 $-n{p}^{n+1}$，中间等比和的项数是 $n$；$p=1$ 时 $(1-p{)}^2=0$ 必须单独讨论。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是「和式递推 + 错位相减」的经典组合，考查代数变形功力。 结论推广: ${\sum }_{k=1}^{n}k{p}^k=\frac{p-(n+1)p^{n+1}+n{p}^{n+2}}{(1-p{)}^2}$（$p\ne 1$）是错位相减的标准结果；递推式中出现 $n^2$ 系数时，常除以 $n$ 或 $n(n-1)$ 寻找可构造的等差结构。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2007-天津文-20 解-递推构造等比数列
• 2007-湖南文-20 解-Sn平方递推与奇偶通项
• 2007-辽宁文-20 解-递推数列构造求和