2006-安徽卷理-18 解-古典概型分布列与期望

本题导读

本题考查古典概型下离散型随机变量的分布列与期望。核心在于用组合计数求出每种「芳香度之和」对应的取法数，再按期望定义式计算 $E\xi$。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(理)） 在添加剂的搭配运用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较，在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂. 现有芳香度分别为 $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ 的六种添加剂可供选用. 根据实验设计学原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配实验. 用 $\xi$ 表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和.

(1) 写出 $\xi$ 的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）

(2) 求 $\xi$ 的数学期望 $E\xi$.（要求写出计算过程或说明道理）

🔍【思路分析】

破题导航

定样本空间：从 $6$ 种芳香度中选 $2$ 种，共 $C_6^2=15$ 种等可能取法。 分类计数：对每个和 $\xi =1,2,\dots ,9$，数出对应的取法数（注意两数不同）。 求期望：$E\xi =\sum x_i{p}_i$，也可用对称性 $E\xi =5$ 快速检验。

✅【答案】

Success

(1) $\xi$ 的分布列：

$\xi$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$P$	$\frac{1}{15}$	$\frac{1}{15}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{3}{15}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{1}{15}$	$\frac{1}{15}$

(2) $E\xi =5$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 从芳香度 $0,1,2,3,4,5$ 中随机选两种不同的添加剂，共有 $C_6^2=15$ 种等可能选法。对每个 $\xi$ 的取值列举： $\xi =1$：$(0,1)$，1 种；$\xi =2$：$(0,2)$，1 种；$\xi =3$：$(0,3),(1,2)$，2 种；$\xi =4$：$(0,4),(1,3)$，2 种；$\xi =5$：$(0,5),(1,4),(2,3)$，3 种；$\xi =6$：$(1,5),(2,4)$，2 种；$\xi =7$：$(2,5),(3,4)$，2 种；$\xi =8$：$(3,5)$，1 种；$\xi =9$：$(4,5)$，1 种。 各取法数之和 $1+1+2+2+3+2+2+1+1=15$，故分布列如上表。

(2) $E\xi =1\cdot \frac{1}{15}+2\cdot \frac{1}{15}+3\cdot \frac{2}{15}+4\cdot \frac{2}{15}+5\cdot \frac{3}{15}+6\cdot \frac{2}{15}+7\cdot \frac{2}{15}+8\cdot \frac{1}{15}+9\cdot \frac{1}{15}$ $=\frac{1+2+6+8+15+12+14+8+9}{15}=\frac{75}{15}=5.$ 故 $E\xi =5$.（另法：六种芳香度的平均值为 $\frac{0+1+2+3+4+5}{6}=2.5$，两个不同数之和的期望为 $2\times 2.5=5$，与计算一致。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：古典概型计数、分布列的完备性（概率和为 $1$）、期望公式。
• 核心方法：按和值分类列举计数。
• 避坑指南：$\xi$ 的最小值是 $1$（$0+1$）而不是 $0$；列举时两数必须不同，$(2,3)$ 与 $(3,2)$ 是同一组不能重复计；分布列填完后用概率和为 $1$ 自检。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是古典概型与期望的基础解答题，取材于实验设计情境。 结论推广: 从 $\{0,1,\dots ,n\}$ 中任取两不同数之和的期望恒为 $n$（本题 $n=5$，期望 $5$）；对称分布的期望可用对称中心快速求出。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2007-大纲卷I理-18 解-离散型随机变量分布列数学期望
• 2008-广东卷理-17 解-分布列
• 2007-大纲卷II理-18 解-超几何分布分布列