本题导读
本题考查空间中点到平面的距离。核心在于认识到：正方体各顶点到平面 的距离（有向高度）满足「平行四边形对角顶点高度相加」的线性规律，由此由已知三个距离推出其余四个顶点距离的可能值。
📌【题干】
Question
（2006年安徽卷(理)） 多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的。如图，正方体的一个顶点 在平面 内，其余顶点在 的同侧，正方体上与顶点 相邻的三个顶点到 的距离分别为 , 和 。 是正方体的其余四个顶点中的一个，则 到平面 的距离可能是：①；②；③；④；⑤。以上结论正确的是 。（写出所有正确结论的编号）
🔍【思路分析】
破题导航
建模：把平面 视为水平面，各顶点的高度即到 的距离。 用线性性：平行四边形对角顶点的高度之和相等（高度是位置的线性函数），正方形 中 ，长方体对角顶点 。 枚举：三个已知高度 的两两和与三和即为其余四点距离的候选值。
✅【答案】
Success
①③④⑤
✍【详细解析】
Abstract
建立空间坐标：设 在平面 内（高度 ），与 相邻的三个顶点 、、 的高度分别为 、、（顺序不影响结论）。
点到平面 的距离是位置坐标的线性函数：对平行四边形 有 ，故 对 有 ；同理 。 体对角顶点 ：。
故其余四个顶点到 的距离分别为 ，其中可能出现的值为 ，对应结论 ①③④⑤。 故填 ①③④⑤.
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：点到平面的距离、空间向量（或坐标）的线性运算。
- 核心方法：高度函数的线性性——平行四边形对角顶点高度和相等。
- 避坑指南：距离虽非负，但本题所有顶点在 同侧（含 在面上），高度可按有向处理； 与 是平行四边形对角顶点， 而不是 。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源: 本题是立体几何与向量线性思想结合的创新题，不需要建系算角，考查对「距离的线性结构」的洞察。 结论推广: 空间中点到定平面的（有向）距离是坐标的线性函数，平行四边形 恒有 ；长方体四条体对角线端点高度满足 。
🔗【关联脉络】
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