2006-安徽卷理-15 填-抽象函数周期求值

本题导读

本题考查抽象函数的周期性与函数值迭代。核心在于由 $f(x+2)=\frac{1}{f(x)}$ 推出 $f(x+4)=f(x)$ 的周期结构，再将目标值逐步化归到已知值 $f(1)$。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(理)） 函数 $f(x)$ 对于任意实数 $x$ 满足条件 $f(x+2)=\frac{1}{f(x)}$，若 $f(1)=-5$，则 $f(f(5))=\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

定周期：对递推式再迭代一次，$f(x+4)=\frac{1}{f(x+2)}=f(x)$，周期为 $4$。 化归内层：$f(5)=f(1)=-5$。 化归外层：$f(-5)=f(-1)=f(3)=\frac{1}{f(1)}$，代入即可。

✅【答案】

Success

$-\frac{1}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $f(x+2)=\frac{1}{f(x)}$，将 $x$ 换为 $x+2$：$f(x+4)=\frac{1}{f(x+2)}=f(x)$，故 $f(x)$ 是以 $4$ 为周期的周期函数。 于是 $f(5)=f(1)=-5$。 再化归外层：$f(-5)=f(-5+4)=f(-1)=f(-1+4)=f(3)$，而 $f(3)=f(1+2)=\frac{1}{f(1)}=\frac{1}{-5}=-\frac{1}{5}.$ 所以 $f(f(5))=f(-5)=-\frac{1}{5}$. 故填 $-\frac{1}{5}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：抽象函数递推式迭代出周期、负自变量的周期化归。
• 核心方法：迭代一次发现 $f(x+4)=f(x)$。
• 避坑指南：外层是 $f(-5)$，负数位置要利用周期 $4$ 逐步加 $4$ 化到正数，$f(-5)=f(3)$ 而非 $f(-1)$ 直接取值——两者经周期化归其实相同（$f(-1)=f(3)$），但中间化归要写清；不能把 $f(f(5))$ 误认为 $f(5)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是抽象函数周期性的典型题，$f(x+2)=\frac{1}{f(x)}$ 型递推是周期 $4$ 的标准来源。 结论推广: $f(x+a)=-\frac{1}{f(x)}$ 或 $f(x+a)=\frac{1}{f(x)}$ 型递推均推出周期 $2a$；$f(x+a)=-f(x)$ 亦然。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2007-湖南卷理-15 填-归纳推理周期性规律
• 2007-新课标Ⅰ文-15 填-复数的周期性与等差系数求和