2006-安徽卷理-14 填-向量线性表示

本题导读

本题考查平面向量的线性运算。核心在于选定基底 $\vec{a}$、$\vec{b}$，利用中点条件与定比条件，把 $\overrightarrow{MN}$ 沿向量加法的三角形法则逐步分解。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(理)） 在平行四边形 $ABCD$ 中，$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{AD}=\vec{b}$，$\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{NC}$，$M$ 为 $BC$ 的中点，则 $\overrightarrow{MN}=\underline{}$。（用 $\vec{a}$, $\vec{b}$ 表示）

🔍【思路分析】

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定 $N$：由 $\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{NC}$ 知 $N$ 在对角线 $AC$ 上且 $AN:NC=3:1$。 定 $M$：$M$ 为 $BC$ 中点，用 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 表示 $\overrightarrow{AM}$。 作差：$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}$。

✅【答案】

Success

$-\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{b}$

✍【详细解析】

Abstract

以 $A$ 为起点，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\vec{a}+\vec{b}$。 由 $\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{NC}$ 得 $AN:NC=3:1$，故 $\overrightarrow{AN}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}=\frac{3}{4}(\vec{a}+\vec{b}).$ 由 $M$ 为 $BC$ 的中点： $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}\left(\vec{a}+\vec{a}+\vec{b}\right)=\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}.$ 于是 $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\frac{3}{4}\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b}-\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}=-\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{b}.$ 故填 $-\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{b}$，即 $\frac{1}{4}(\vec{b}-\vec{a})$，与同卷文科第 14 题答案一致.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：向量加法的平行四边形法则、中点公式、定比分点。
• 核心方法：全部向量以 $A$ 为起点统一表示，再作差。
• 避坑指南：$M$ 为 $BC$ 中点时 $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$，其中 $\overrightarrow{AC}=\vec{a}+\vec{b}$ 要先代入，漏掉这一层会算成 $\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$；方向别写反，$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是平面向量线性运算的常规题，考查基底意识。 结论推广: 中点公式 $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ 与定比分点 $\overrightarrow{AN}=\frac{m}{m+n}\overrightarrow{AC}$ 是向量线性表示的两大基础工具。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2007-安徽卷理-13 填-向量加减法几何意义
• 2007-江西卷理-15 填-三角形中点向量性质
• 2007-天津卷理-15 填-向量数量积运算