2006-安徽卷理-12 单-正方体顶点概率

本题导读

本题考查古典概型与正方体结构的综合。核心在于用坐标法给顶点定位，按「直角顶点处两边分别为一条棱与一条面对角线」分类计数直角非等腰三角形的个数。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(理)） 在正方体上任选 $3$ 个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为 ()

A. $\frac{1}{7}$　　B. $\frac{2}{7}$　　C. $\frac{3}{7}$　　D. $\frac{4}{7}$

🔍【思路分析】

破题导航

算总数：从 8 个顶点中任选 3 个，$C_8^3=56$。 数目标：用坐标表示顶点，直角非等腰三角形的三边长必为 $1$（棱）、$\sqrt{2}$（面对角线）、$\sqrt{3}$（体对角线）；对每个直角顶点数出满足垂直关系的组合数。 求概率：比值化简。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

从 8 个顶点中任选 3 个，共有 $C_8^3=56$ 个三角形。

以直角顶点为原点 $O=(0,0,0)$ 建系，三条棱方向为单位向量。直角非等腰三角形的三边长只能是 $1$（棱）、$\sqrt{2}$（面对角线）、$\sqrt{3}$（体对角线）的组合，其中直角两边为一条棱 $\vec{u}$ 与一条面对角线 $\vec{v}$，且 $\vec{u}\perp \vec{v}$，斜边为体对角线。

固定直角顶点：从它出发的棱有 3 条（沿三个坐标轴正方向），从它出发的面对角线有 3 条：$(1,1,0)$、$(1,0,1)$、$(0,1,1)$。逐一检验垂直：$(1,0,0)\perp (0,1,1)$，$(0,1,0)\perp (1,0,1)$，$(0,0,1)\perp (1,1,0)$，共 3 组。

每组对应一个直角非等腰三角形（三边长 $1,\sqrt{2},\sqrt{3}$ 互不相等），且每个这样的三角形只有一个直角顶点，不会重复计数。故直角非等腰三角形共 $8\times 3=24$ 个。

所求概率 $P=\frac{24}{56}=\frac{3}{7}$，选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：古典概型、正方体顶点连线长度分类（棱 $1$、面对角线 $\sqrt{2}$、体对角线 $\sqrt{3}$）。
• 核心方法：坐标化后用向量垂直条件分类计数。
• 避坑指南：等腰直角三角形（两边为同一面上的两条面对角线）容易被误计入目标；每个直角非等腰三角形只有唯一的直角顶点，按直角顶点计数天然不重复。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是古典概型与立体几何综合的经典计数概率题。 结论推广: 正方体 8 顶点任选 3 个共 $C_8^3=56$ 个三角形，按边长组合分为三类：等腰直角三角形（边 $1,1,\sqrt{2}$，分布在 6 个表面内，共 24 个）、直角非等腰三角形（边 $1,\sqrt{2},\sqrt{3}$，共 24 个）、等边三角形（边 $\sqrt{2},\sqrt{2},\sqrt{2}$，共 8 个），合计 $24+24+8=56$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-10 单-正方体概率
• 2008-重庆文-09 单-最大号码组合概率
• 2007-山东文-12 单-古典概型概率最值