2006-安徽卷理-11 单-三角形形状判定

本题导读

本题考查三角形形状的判定。核心在于抓住「正弦与余弦的配对关系」：$\sin \beta =\cos \alpha$ 意味着 $\beta =90^{\circ }-\alpha$ 或 $\beta =90^{\circ }+\alpha$，再用内角和排除全锐角配对的可能。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(理)） 如果 $△A_1{B}_1{C}_1$ 的三个内角的余弦值分别等于 $△A_2{B}_2{C}_2$ 的三个内角的正弦值，则 ()

A. $△A_1{B}_1{C}_1$ 和 $△A_2{B}_2{C}_2$ 都是锐角三角形

B. $△A_1{B}_1{C}_1$ 和 $△A_2{B}_2{C}_2$ 都是钝角三角形

C. $△A_1{B}_1{C}_1$ 是钝角三角形，$△A_2{B}_2{C}_2$ 是锐角三角形

D. $△A_1{B}_1{C}_1$ 是锐角三角形，$△A_2{B}_2{C}_2$ 是钝角三角形

🔍【思路分析】

破题导航

定 $A_1$ 形状：$A_2$ 的内角正弦值为正，故对应的 $A_1$ 的余弦值均为正，$A_1$ 必为锐角三角形。 分析 $A_2$：设 $\beta$ 与 $\alpha$ 配对满足 $\sin \beta =\cos \alpha$，则 $\beta =90^{\circ }-\alpha$ 或 $90^{\circ }+\alpha$；用 $A_2$ 内角和为 $180^{\circ }$ 排除全取 $90^{\circ }-\alpha$ 的情形。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设 $△A_1{B}_1{C}_1$ 的内角为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$，$△A_2{B}_2{C}_2$ 的内角为 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$。由题意，三个 $\cos {\alpha }_i$ 恰为三个 $\sin {\beta }_j$。

因为 $\sin {\beta }_j>0$，所以所有 $\cos {\alpha }_i>0$，即 ${\alpha }_i$ 均为锐角，$△A_1{B}_1{C}_1$ 是锐角三角形，排除 B、C。

若 $△A_2{B}_2{C}_2$ 也是锐角三角形，则 ${\beta }_j$ 均为锐角，由 $\sin {\beta }_j=\cos {\alpha }_i$ 得 ${\beta }_j=90^{\circ }-{\alpha }_i$。三式相加： ${\beta }_1+{\beta }_2+{\beta }_3=270^{\circ }-({\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3)=270^{\circ }-180^{\circ }=90^{\circ },$ 与三角形内角和为 $180^{\circ }$ 矛盾。故 $△A_2{B}_2{C}_2$ 不能是锐角三角形，必为钝角三角形。

综上，$△A_1{B}_1{C}_1$ 是锐角三角形，$△A_2{B}_2{C}_2$ 是钝角三角形，选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：正弦与余弦的互化关系 $\sin \beta =\cos \alpha$、三角形内角和定理、反证思想。
• 核心方法：先由符号定 $A_1$ 为锐角三角形，再用内角和反证 $A_2$ 必钝。
• 避坑指南：$\sin \beta =\cos \alpha$ 时 $\beta =90^{\circ }-\alpha$ 只是锐角情形，钝角情形 $\beta =90^{\circ }+\alpha$ 也成立；「两个三角形都锐角」的错误结论正是漏掉这一点所致，内角和检验是关键一步。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是三角形形状判定中的经典逻辑推理题，不涉及具体数值计算。 结论推广: 若一个三角形的三内角正弦值分别等于另一个三角形的三内角余弦值，则前者必为钝角三角形、后者必为锐角三角形，且前者含一个 $135^{\circ }$ 角。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 11.05 射影定理与内角和性质

类题演练 (Links)

• 2010-上海卷文-18 单-正余弦定理判形状
• 2012-上海卷文-17 单-三角形形状判定